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Linearer Endomorphismus/Lineare Transformationsformel/Fakt/Beweis

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Beweis

Wenn nicht bijektiv ist, so steht links und rechts einfach , wie aus Fakt und Fakt folgt. Wir können also annehmen, dass bijektiv ist. Dann kann man die Aussage mit dem Bildmaß als

formulieren.
Aufgrund von Fakt in Verbindung mit Fakt gibt es Elementarmatrizen und eine Diagonalmatrix mit Aufgrund des Determinantenmultiplikationssatzes und wegen Fakt und Aufgabe genügt es, die Aussage für Diagonalmatrizen und Elementarmatrizen zu beweisen.

Wegen Fakt ist also für diese Matrizen zu zeigen, dass das Volumen des von den Bildvektoren der Standardvektoren erzeugten Parallelotops gleich dem Betrag der Determinante der Matrix ist. Für eine Diagonalmatrix ist das erzeugte Parallelotop der Quader, dessen Seitenlängen die Beträge der Diagonaleinträge sind, so dass das Volumen das Produkt davon ist. Nach Fakt ist die Determinante das Produkt der Diagonaleinträge, so dass im Betrag Gleichheit gilt. Damit gilt die Aussage auch für eine elementare Skalierungsmatrix, die ja eine Diagonalmatrix ist.

Da die Determinante der übrigen Elementarmatrizen oder ist, müssen wir zeigen, dass das Volumen des von den Spaltenvektoren einer solchen Elementarmatrix erzeugten Parallelotops gleich ist. Dies ist klar für den Typ (1), also für die elementare Vertauschungsmatrix, da es sich um den Einheitswürfel handelt, wobei lediglich die Reihenfolge der erzeugenden Vektoren geändert wird. Es bleibt also eine elementare Scherungsmatrix  mit  und zu betrachten. Wegen (Wir notieren nur die zweidimensionale Situation, da sich alles in zwei Zeilen und zwei Spalten abspielt)

und dem schon bewiesenen kann man annehmen. Ferner kann man durch umnummerieren annehmen, dass und ist. Es geht dann um das Volumen des von

erzeugten Parallelotops, also um

Wir betrachten

und

Dann ist

wobei die Durchschnitte dieser drei Mengen jeweils in einer Hyperebene enthalten sind und daher nach Fakt das Maß besitzen. Also ist einerseits

Andererseits geht durch verschieben um aus

hervor und besitzt damit wegen der Translationsinvarianz dasselbe Volumen wie . Da der Einheitswürfel ist, wobei der Durchschnitt wieder in einer Hyperebene liegt, ist

und somit ist .