Beweis
Wir verwenden
Fakt,
also den natürlichen
-Isomorphismus
-
Wenn
ein freier
-Modul und sein Rang gleich der Dimension
ist, so gilt dies auch für den
-Modul
und dann ist insbesondere
ein
-dimensionaler
-Vektorraum.
Dies bedeutet nach Definition, dass
regulär
ist. Umgekehrt folgt aus der Regularität, dass
und entsprechend
ein
-dimensionaler Vektorraum ist, und
nach dem Lemma von Nakayama,
dass
als
-Modul von
Elementen erzeugt wird. Nach
Fakt
ist
ein
Integritätsbereich,
sei
sein
Quotientenkörper.
Nach
Fakt
ist der
Transzendenzgrad
von
über
gleich der Dimension von
. Da der Modul der Kähler-Differentiale mit
Nenneraufnahmen
verträglich ist, gilt
-
![{\displaystyle {}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}Q(R)=\Omega _{Q(R){|}K}\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15134bba37329bf181faae4105151235784c9be4)
Da
vollkommen ist, ist die
Körpererweiterung
nach
Fakt
(nicht endlich, aber)
separabel.
Damit ist
ein freier
-Modul, dessen Rang gleich dem Transzendenzgrad ist. Zusammenfassend besitzt also der
-Modul
die Eigenschaft, dass er von
Elementen
erzeugt wird und dass die Tensorierung mit
ein
-Vektorraum
der Dimension
ist. Somit müssen die
-linear unabhängig
sein, da sie dies über
sind, und daher handelt es sich um eine
Basis.
Also ist
frei vom Rang
.