Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt/Beweis

Beweis

Wir verwenden Fakt, also den natürlichen ${}R/{\mathfrak {m}}$-Isomorphismus

${\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}\longrightarrow \Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}},\,[f]\longmapsto df\otimes 1.$

Wenn ${}\Omega _{R{|}K}$ ein freier ${}R$-Modul und sein Rang gleich der Dimension ${}d$ ist, so gilt dies auch für den ${}R/{\mathfrak {m}}$-Modul ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ und dann ist insbesondere ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ ein ${}d$-dimensionaler ${}R/{\mathfrak {m}}$-Vektorraum. Dies bedeutet nach Definition, dass ${}R$ regulär ist. Umgekehrt folgt aus der Regularität, dass ${}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}$ und entsprechend ${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ ein ${}d$-dimensionaler Vektorraum ist, und nach dem Lemma von Nakayama, dass ${}\Omega _{R{|}K}$ als ${}R$-Modul von ${}d$ Elementen erzeugt wird. Nach Fakt ist ${}R$ ein Integritätsbereich, sei ${}Q(R)$ sein Quotientenkörper. Nach Fakt ist der Transzendenzgrad von ${}Q(R)$ über ${}K$ gleich der Dimension von ${}R$. Da der Modul der Kähler-Differentiale mit Nenneraufnahmen verträglich ist, gilt

${}\Omega _{R{|}K}\otimes _{R}Q(R)=\Omega _{Q(R){|}K}\,.$

Da ${}K$ vollkommen ist, ist die Körpererweiterung ${}K\subseteq Q(R)$ nach Fakt (nicht endlich, aber) separabel. Damit ist ${}\Omega _{Q(R){|}K}$ ein freier ${}Q(R)$-Modul, dessen Rang gleich dem Transzendenzgrad ist. Zusammenfassend besitzt also der ${}R$-Modul ${}\Omega _{Q(R){|}K}$ die Eigenschaft, dass er von ${}d$ Elementen ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}$ erzeugt wird und dass die Tensorierung mit ${}Q(R)$ ein ${}Q(R)$-Vektorraum der Dimension ${}d$ ist. Somit müssen die ${}\omega _{1},\ldots ,\omega _{d}$ ${}R$-linear unabhängig sein, da sie dies über ${}Q(R)$ sind, und daher handelt es sich um eine Basis. Also ist ${}\Omega _{R{|}K}$ frei vom Rang ${}d$.

Zur bewiesenen Aussage