Lokaler Ring/Restkörperbedingung/Regulär und Freier Kählermodul/Fakt/Beweis

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Beweis

Wir verwenden Fakt, also den natürlichen -Isomorphismus

Wenn ein freier -Modul und sein Rang gleich der Dimension ist, so gilt dies auch für den -Modul und dann ist insbesondere ein -dimensionaler -Vektorraum. Dies bedeutet nach Definition, dass regulär ist. Umgekehrt folgt aus der Regularität, dass und entsprechend ein -dimensionaler Vektorraum ist, und nach dem Lemma von Nakayama, dass als -Modul von Elementen erzeugt wird. Nach Fakt ist ein Integritätsbereich, sei sein Quotientenkörper. Nach Fakt ist der Transzendenzgrad von über gleich der Dimension von . Da der Modul der Kähler-Differentiale mit Nenneraufnahmen verträglich ist, gilt

Da vollkommen ist, ist die Körpererweiterung nach Fakt (nicht endlich, aber) separabel. Damit ist ein freier -Modul, dessen Rang gleich dem Transzendenzgrad ist. Zusammenfassend besitzt also der -Modul die Eigenschaft, dass er von Elementen erzeugt wird und dass die Tensorierung mit ein -Vektorraum der Dimension ist. Somit müssen die -linear unabhängig sein, da sie dies über sind, und daher handelt es sich um eine Basis. Also ist frei vom Rang .