Mannigfaltigkeit mit Rand/Stokes/Nichtexistenz von Retraktionen/Fakt/Beweis

Beweis

Der Rand $\partial M$ ist nach Fakt eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Daher gibt es nach Fakt eine stetig differenzierbare positive Volumenform $\tau$ auf $\partial M$. Es ist  ${\int }_{\partial M}\tau >0$.  Die äußere Ableitung der Volumenform $\tau$ ist $0$.  Nehmen wir an, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung

$\phi :M⟶\partial M$

mit  $\phi {|}_{\partial M}={\mathrm{Id}}_{\partial M}$  gebe. Dann ist die zurückgezogene Form ${\phi }^{\ast }\tau$ eine $(n-1)$-Differentialform auf $M$, deren Einschränkung auf den Rand mit $\tau$ übereinstimmt. Daher gilt unter Verwendung von Fakt und Fakt  (5)

$\begin{array}{cc}{\int }_{\partial M}\tau & ={\int }_{\partial M}{\phi }^{\ast }\tau \\ & ={\int }_{M}d({\phi }^{\ast }\tau )\\ & ={\int }_M{\phi }^{\ast }(d\tau )\\ & ={\int }_M{\phi }^{\ast }(0)\\ & =0.\end{array}$

Dies ist ein Widerspruch.

Zur bewiesenen Aussage