Mannigfaltigkeit mit Rand/Stokes/Nichtexistenz von Retraktionen/Fakt/Beweis

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Beweis

Der Rand ist nach Fakt eine orientierte differenzierbare Mannigfaltigkeit (ohne Rand). Daher gibt es nach Fakt eine stetig differenzierbare positive Volumenform auf . Es ist . Die äußere Ableitung der Volumenform ist .  Nehmen wir an, dass es eine stetig differenzierbare Abbildung

mit gebe. Dann ist die zurückgezogene Form eine -Differentialform auf , deren Einschränkung auf den Rand mit übereinstimmt. Daher gilt unter Verwendung von Fakt und Fakt  (5)

Dies ist ein Widerspruch.