Metrische Räume/Abbildung/Grenzwert/Einführung/Textabschnitt
Definition
Es sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei
eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt der Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ist . In diesem Fall schreibt man
Wenn der Grenzwert existiert, so ist er eindeutig bestimmt. Wenn kein Berührpunkt von ist, so ist die obige Definition grundsätzlich auch formulierbar, doch dann ist jedes ein Grenzwert.
Notation
Beispiel
Es sei
(mit der von induzierten Metrik),
und , der ein Berührpunkt von ist. Eine Abbildung
in einen metrischen Raum ist dasselbe wie eine Folge in , da ja einfach jedem ein Element zugeordnet wird. Sei . Dann besitzt die Abbildung in den Grenzwert genau dann, wenn die Folge gegen konvergiert.
Lemma
Es sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei
eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und sei . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.
- Die Abbildung besitzt in den Grenzwert .
- Zu jeder offenen Menge mit gibt es eine offene Menge mit und mit .
- Für jede Folge in , die gegen konvergiert, konvergiert die Bildfolge gegen .
Beweis
. Da offen ist gibt es ein mit . Aufgrund von (1) gibt es ein mit
und wir können
nehmen.
. Es sei eine gegen konvergente Folge
und ein
gegeben. Für die offene Menge
gibt es nach (2) eine offene Menge
mit
und
.
Wegen der Offenheit von gibt es auch ein
mit
.
Da die Folge gegen konvergiert, gibt es ein
mit
für alle
.
Für diese ist dann
,
d.h. die Bildfolge konvergiert gegen .
. Nehmen wir an, dass nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein
derart, dass es für alle
ein
gibt mit
und mit
.
Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche
, ,
an und erhalten eine Folge
Lemma
Es sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es seien und Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren.
Dann gelten folgende Beziehungen.
- Die Summe besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
- Das Produkt besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
- Es sei
für alle
und
.
Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert in , und zwar ist