Metrische Räume/Grenzwert von Abbildungen/Textabschnitt

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Wir betrachten die beiden stetigen Funktionen

und

die beide nicht im Nullpunkt definiert sind. Offensichtlich kann man durch die Festlegung zu einer stetigen Funktion auf ganz fortsetzen. Bei hingegen ist das nicht möglich: wenn man sich auf der positiven Halbgeraden annähert, wachsen die Funktionswerte gegen , wenn man sich auf der negativen Halbgeraden annähert, so wachsen die Funktionswerte gegen , und somit ist jede Fortsetzung nicht stetig. Diese Beobachtung führt zum Begriff des Grenzwertes einer Abbildung, den wir insbesondere im Rahmen der Differentialrechnung verwenden werden.


Definition  

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Ein Punkt heißt Berührpunkt von , wenn zu jedem der Durchschnitt


Definition  

Sei ein metrischer Raum und eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von heißt der Abschluss von . Er wird mit bezeichnet.

Der Abschluss ist eine abgeschlossene Menge, und zwar die kleinste abgeschlossene Menge, die umfasst.


Definition  

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum . Dann heißt der Grenzwert (oder Limes) von in , wenn es für jedes ein gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes ist . In diesem Fall schreibt man

Wenn der Grenzwert existiert, so ist er eindeutig bestimmt.

Notation

In der Situation von Definition wird der Grenzwert, falls er existiert, mit

bezeichnet.




Lemma  

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es sei

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum und sei . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. Die Abbildung besitzt in den Grenzwert .
  2. Zu jeder offenen Menge mit gibt es eine offene Menge mit und mit .
  3. Für jede Folge in , die gegen konvergiert, konvergiert die Bildfolge gegen .

Beweis  

. Da offen ist gibt es ein mit . Aufgrund von (1) gibt es ein mit und wir können nehmen.
. Sei eine gegen konvergente Folge und ein gegeben. Für die offene Menge gibt es nach (2) eine offene Menge mit und . Wegen der Offenheit von gibt es auch ein mit . Da die Folge konvergiert, gibt es ein mit für alle . Für diese ist dann , d.h. die Bildfolge konvergiert.
.  Nehmen wir an, dass nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein derart, dass es für alle ein gibt mit und mit . Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche  , , an und erhalten eine Folge

Die Folge konvergiert dann gegen , die Bildfolge aber nicht gegen ,  im Widerspruch zu (3).



Lemma

Sei ein metrischer Raum, sei eine Teilmenge und sei ein Berührpunkt von . Es seien und Funktionen derart, dass die Grenzwerte und existieren.

Dann gelten folgende Beziehungen.

  1. Die Summe besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  2. Das Produkt besitzt einen Grenzwert in , und zwar ist
  3. Es sei für alle und . Dann besitzt der Quotient einen Grenzwert in , und zwar ist

Beweis

Siehe Aufgabe.



Beispiel  

Wir betrachten den Limes

wobei , ist. Für ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit erweitern, und erhält dann

Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, und es ergibt sich insgesamt .