Metrische Räume/Grenzwert von Abbildungen/Textabschnitt

Wir betrachten die beiden stetigen Funktionen

$f\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1/x,$

und

$g\colon \mathbb {R} \setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto 1,$

die beide nicht im Nullpunkt ${}0\in \mathbb {R}$ definiert sind. Offensichtlich kann man ${}g$ durch die Festlegung ${}g(0):=1$ zu einer stetigen Funktion auf ganz ${}\mathbb {R}$ fortsetzen. Bei ${}f$ hingegen ist das nicht möglich: wenn man sich auf der positiven Halbgeraden ${}0$ annähert, wachsen die Funktionswerte gegen ${}+\infty$, wenn man sich auf der negativen Halbgeraden ${}0$ annähert, so wachsen die Funktionswerte gegen ${}-\infty$, und somit ist jede Fortsetzung nicht stetig. Diese Beobachtung führt zum Begriff des Grenzwertes einer Abbildung, den wir insbesondere im Rahmen der Differentialrechnung verwenden werden.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge. Ein Punkt  ${}a\in M$  heißt Berührpunkt von ${}T$, wenn zu jedem  ${}\epsilon >0$  der Durchschnitt

${}T\cap U{\left(a,\epsilon \right)}\neq \emptyset \,.$

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum und  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge. Die Menge aller Berührpunkte von ${}T$ heißt der Abschluss von ${}T$. Er wird mit ${}{\overline {T}}$ bezeichnet.

Der Abschluss ist eine abgeschlossene Menge, und zwar die kleinste abgeschlossene Menge, die ${}T$ umfasst.

Definition

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge und sei  ${}a\in M$  ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$. Dann heißt  ${}b\in L$  der Grenzwert (oder Limes) von ${}f$ in ${}a$, wenn es für jedes  ${}\epsilon >0$  ein  ${}\delta >0$  gibt mit der folgenden Eigenschaft: Für jedes  ${}x\in B\left(a,\delta \right)\cap T$  ist  ${}f(x)\in B\left(b,\epsilon \right)$.  In diesem Fall schreibt man

${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)=b\,.$

Wenn der Grenzwert existiert, so ist er eindeutig bestimmt.

Notation

In der Situation von Definition wird der Grenzwert, falls er existiert, mit

$\operatorname {lim} _{x\in T,\,x\rightarrow a}\,f(x){\text{ bzw. mit }}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$

bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge und sei  ${}a\in M$  ein Berührpunkt von ${}T$. Es sei

$f\colon T\longrightarrow L$

eine Abbildung in einen weiteren metrischen Raum ${}L$ und sei  ${}b\in L$.  Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Abbildung ${}f$ besitzt in ${}a$ den Grenzwert ${}b$.
2. Zu jeder offenen Menge  ${}V\subseteq L$  mit  ${}b\in V$  gibt es eine offene Menge  ${}U\subseteq M$  mit  ${}a\in U$  und mit  ${}f(U\cap T)\subseteq V$. 
3. Für jede Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}T$, die gegen ${}a$ konvergiert, konvergiert die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}b$.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Da ${}V$ offen ist gibt es ein  ${}\epsilon >0$  mit  ${}U{\left(b,\epsilon \right)}\subseteq V$.  Aufgrund von (1) gibt es ein  ${}\delta >0$  mit

${}f(T\cap U{\left(a,\delta \right)})\subseteq U{\left(b,\epsilon \right)}\,$

und wir können  ${}U=T\cap U{\left(a,\delta \right)}$  nehmen.
${}(2)\Rightarrow (3)$. Es sei eine gegen ${}a$ konvergente Folge  ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }\in T$  und ein  ${}\epsilon >0$  gegeben. Für die offene Menge  ${}V=U{\left(b,\epsilon \right)}$  gibt es nach (2) eine offene Menge  ${}U\subseteq M$  mit  ${}a\in U$  und  ${}f(U\cap T)\subseteq V$.  Wegen der Offenheit von ${}U$ gibt es auch ein  ${}\delta >0$  mit  ${}U{\left(a,\delta \right)}\cap T\subseteq U\cap T$.  Da die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ gegen ${}a$ konvergiert, gibt es ein  ${}N\in \mathbb {N}$  mit  ${}x_{n}\in U{\left(a,\delta \right)}$  für alle  ${}n\geq N$.  Für diese ${}n$ ist dann  ${}f(x_{n})\in U{\left(b,\epsilon \right)}$,  d.h. die Bildfolge konvergiert gegen ${}b$.
${}(3)\Rightarrow (1)$.  Nehmen wir an, dass ${}b$ nicht der Grenzwert ist. Dann gibt es ein  ${}\epsilon >0$  derart, dass es für alle  ${}\delta >0$  ein  ${}x\in T$  gibt mit  ${}x\in U{\left(a,\delta \right)}$  und mit  ${}f(x)\notin U{\left(b,\epsilon \right)}$.  Wir wenden diese Eigenschaft auf die Stammbrüche ${}\delta =1/n$ , ${}n\in \mathbb {N}$, an und erhalten eine Folge

$x_{n}\in U{\left(a,1/n\right)}{\text{ und }}f(x_{n})\not \in U{\left(b,\epsilon \right)}.$

Die Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ konvergiert dann gegen ${}a$, die Bildfolge ${}{\left(f(x_{n})\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ aber nicht gegen ${}b$,  im Widerspruch zu (3).

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Lemma

Es sei ${}(M,d)$ ein metrischer Raum, sei  ${}T\subseteq M$  eine Teilmenge und sei  ${}a\in M$  ein Berührpunkt von ${}T$. Es seien ${}f\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ und ${}g\colon T\rightarrow {\mathbb {K} }$ Funktionen derart, dass die Grenzwerte ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)$ und ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)$ existieren.

Dann gelten folgende Beziehungen.

1. Die Summe ${}f+g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)+g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)+\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\,.$

2. Das Produkt ${}f\cdot g$ besitzt einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,(f(x)\cdot g(x))=\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)\cdot \operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\,.$

3. Es sei  ${}g(x)\neq 0$  für alle  ${}x\in T$  und  ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)\neq 0$.  Dann besitzt der Quotient ${}f/g$ einen Grenzwert in ${}a$, und zwar ist

   ${}\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,f(x)}{\operatorname {lim} _{x\rightarrow a}\,g(x)}}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Beispiel

Wir betrachten den Limes

$\operatorname {lim} _{x\rightarrow 0}\,{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}},$

wobei ${}x\in \mathbb {R} \setminus \{0\},\,x\geq -4$, ist. Für  ${}x=0$  ist der Ausdruck nicht definiert, und aus dem Ausdruck ist nicht direkt ablesbar, ob der Grenzwert existiert und welchen Wert er annimmt. Man kann den Ausdruck aber mit ${}{\sqrt {x+4}}+2$ erweitern, und erhält dann

${}{\begin{aligned}{\frac {{\sqrt {x+4}}-2}{x}}&={\frac {{\left({\sqrt {x+4}}-2\right)}{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x+4-4}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {x}{x{\left({\sqrt {x+4}}+2\right)}}}\\&={\frac {1}{{\sqrt {x+4}}+2}}.\end{aligned}}$

Aufgrund der Rechenregeln für Grenzwerte können wir den Grenzwert von Zähler und Nenner ausrechnen, wobei wir im Nenner die Stetigkeit der Quadratwurzel gemäß Aufgabe verwenden, und es ergibt sich insgesamt ${}1/4$.