Monomiale Kurve/Multiplizität/Numerisch und Hilbert-Samuel/Textabschnitt

Aus Wikiversity

Zu einem numerischen Monoid , das von teilerfremden natürlichen Zahlen erzeugt werde, wird der minimale Erzeuger, also , auch als Multiplizität bezeichnet. Es ist zu zeigen, dass dies die „richtige“ ringtheoretische Multiplizität ergibt. Dazu sei

und

Dies sind offensichtlich „Monoid-Ideale“ von . Es folgt, dass die zugehörigen Mengen Ideale im Monoidring sind. Und zwar ist ein maximales Ideal, und die Potenzen davon sind .



Lemma  

Sei ein numerisches Monoid mit (numerischer) Multiplizität und sei eine Zahl mit .

Dann gelten für die Mächtigkeit der Differenzmenge die Abschätzungen

Beweis  

Die Abschätzung nach unten folgt daraus, dass die kleinste Zahl in genau ist, die natürlichen Zahlen liegen also außerhalb davon. Dabei liegen die Zahlen in , so dass von diesen Zahlen mindestens zu , aber nicht zu gehören.

Zur Abschätzung nach oben behaupten wir, dass alle Zahlen zu gehören. Es sei . Dann ist mit und daher ist . Also liegt direkt eine Zerlegung von in Summanden aus vor.



Korollar  

Es sei ein von teilerfremden Zahlen erzeugtes numerisches Monoid mit numerischer Multiplizität . Es sei das maximale Ideal des Monoidringes , das dem Nullpunkt entspricht.

Dann gilt

Das heißt, dass die numerische Multiplizität mit der Hilbert-Samuel Multiplizität übereinstimmt.

Beweis  

Der Restklassenring

hat die Elemente aus als -Basis. Deren Anzahl ist also die Dimension davon. Aufgrund der in Fakt bewiesenen Abschätzungen konvergiert der Ausdruck für gegen . Daher gilt diese Konvergenz auch für die Dimensionen.