Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich mit dem Quotientenkörper

${}K=Q(R)\,.$

Wegen der Normalität sind die Lokalisierungen ${}R_{\mathfrak {p}}$ an Primidealen der Höhe ${}1$ diskrete Bewertungsringe. D.h. dass es ein Element ${}\pi$ mit

${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}=(\pi )\,$

gibt. Jedes Element ${}f\in K$, ${}f\neq 0$, besitzt somit in ${}R_{\mathfrak {p}}$ eine eindeutige Darstellung ${}f=u\pi ^{n}$ mit einer Einheit ${}u\in R_{\mathfrak {p}}^{\times }$ und mit ${}n\in \mathbb {Z}$. Die Zahl ${}n$ nennt man die Ordnung von ${}f$ in ${}{\mathfrak {p}}$. Bei ${}n\geq 1$ spricht man auch von der Verschwindungsordnung und bei ${}n\leq -1$ nennt man ${}-n$ auch die Polordnung. Zu zwei ELementen ${}f,g\in K$ ist

${}\operatorname {ord} \,(fg)=\operatorname {ord} \,(f)+\operatorname {ord} \,(g)\,.$

Für ein Element ${}a\in R$, ${}a\neq 0$, ist dabei die Ordnung in ${}{\mathfrak {p}}$ genau dann positiv, wenn ${}f\in {\mathfrak {p}}$ ist. Da es oberhalb von ${}(a)$ nur endlich viele minimale Primoberideale gibt, besitzt ${}a$ nur in endlich vielen Primidealen der Höhe ${}1$ eine positive verschwindungsordnung, sonst ist die Ordnung gleich ${}0$. Wenn ${}f=a/b$ ist, so ergibt sich aus dieser Beobachtung, dass die Ordnung von ${}f$ nur an endlich vielen Primidealen der Höhe ${}1$ eine Ordnung besitzt, die nicht ${}0$ ist. Abweichendes Verhalten gibt es nur bei den minimalen Primoberidealen von ${}a$ und von ${}b$.

Definition

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich mit Quotientenkörper ${}K=Q(R)$. Es sei ${}f\in K$, ${}f\neq 0$. Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ in ${}R$ die Ordnung ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)$ zuordnet, der durch ${}f$ definierte Hauptdivisor. Er wird mit ${}\operatorname {div} (f)$ bezeichnet und als formale Summe

${}\operatorname {div} (f)=\sum _{\mathfrak {p}}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}(f)\cdot {\mathfrak {p}}\,$

geschrieben.

Definition

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

$\sum _{\mathfrak {p}}n_{\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {p}},$

die sich über alle Primideale der Höhe ${}1$ aus ${}R$ erstreckt und wobei ${}n_{\mathfrak {p}}$ ganze Zahlen mit ${}n_{\mathfrak {p}}=0$ für fast alle ${}{\mathfrak {p}}$ sind.

Definition

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich. Es sei ${}\operatorname {Div} (R)$ die Gruppe der Divisoren und ${}H\subseteq \operatorname {Div} (R)$ sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe

${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=\operatorname {Div} (R)/H\,$

die Divisorenklassengruppe von ${}R$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal in ${}R$ der Höhe ${}1$. Dann hat die Ordnung an ${}{\mathfrak {p}}$, also die Abbildung

$R\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} ,\,f\longmapsto \operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),$

folgende Eigenschaften.

1. ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(fg)=\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)+\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)$.
2. ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f+g)\geq \min\{\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f),\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(g)\}$.
3. ${}f\in {\mathfrak {p}}$ genau dann, wenn ${}\operatorname {ord} _{\mathfrak {p}}\,(f)\geq 1$.

Beweis

Normaler noetherscher Bereich/Ordnung an Primstelle/Erste Eigenschaften/Fakt/Beweis

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Satz

Es sei ${}R$ ein normaler noetherscher Integritätsbereich und es bezeichne ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}$ die Divisorenklassengruppe von ${}R$. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}R$ ist faktoriell.
2. Jedes Primideal der Höhe ${}1$ ist ein Hauptideal.
3. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
4. Es ist ${}\operatorname {DKG} {\left(R\right)}=0$.

Beweis

Sei (1) erfüllt und ${}{\mathfrak {p}}$ ein Primideal der Höhe ${}1$. Es gibt ein Element ${}f\in {\mathfrak {p}}$, ${}f\neq 0$. Dieses hat eine Primfaktorzerlegung ${}f=p_{1}\cdots p_{n}$ und aufgrund der Primeigenschaft muss ${}p_{i}\in {\mathfrak {p}}$ für ein ${}i$ sein. Dann ist aber wegen der Höhenbedingung ${}(p_{i})={\mathfrak {p}}$. Sei nun jedes Primideal der Höhe ${}1$ Hauptideal. Dann gilt mit

${}{\mathfrak {p}}=(p)\,$

die Divisorbeziehung

${}\operatorname {div} {\left(p\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,,$

da ${}p$ in keinem anderen Primideal der Höhe ${}1$ enthalten ist und da ${}p$ auch in ${}R_{\mathfrak {p}}$ ein Erzeuger von ${}{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ ist. Somit sind die Gruppenerzeuger der Divisorenklasengruppe Hauptdivisoren und damit sind überhaupt alle Divisoren Hauptdivisoren. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar. Sei nun vorausgesetzt, dass jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. Dann gibt es zu einem Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ der Höhe ${}1$ ein ${}f\in Q(R)$, ${}f\neq 0$, mit

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=1\cdot {\mathfrak {p}}\,.$

Wegen der Nichtnegativität des Hauptdivisors ist nach Fakt ${}f\in R$. Somit ist ${}f$ nur in ${}{\mathfrak {p}}$ als einzigem Primideal der Höhe ${}1$ enthalten. Sei ${}{\mathfrak {p}}=(g_{1},\ldots ,g_{n})$. Dann ist

${}\operatorname {div} {\left(g_{i}\right)}\geq \operatorname {div} {\left(f\right)}\,$

und somit ist ${}{\frac {g_{i}}{f}}\in R$, also ${}g_{i}\in (f)$ und damit ${}{\mathfrak {p}}=(f)$.

Sei schließlich (2) erfüllt, und ${}f\in R$, ${}f\neq 0$. Es seien ${}{\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,{\mathfrak {p}}_{s}$ die minimalen Primoberideale von ${}f$. Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzen diese alle die Höhe ${}1$. Sei ${}{\mathfrak {p}}_{i}=(p_{i})$ mit Primelementen ${}p_{1}$. Es ist

${}\operatorname {div} {\left(f\right)}=\sum _{i=1}^{s}n_{i}{\mathfrak {p}}_{i}\,.$

Das Element ${}\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}$ besitzt den gleichen Hauptdivisor. Deshalb ist der Quotient ${}f/\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}$ eine Einheit und

${}f=u\prod _{i=1}^{s}p_{i}^{n_{i}}\,$

mit einer Einheit ${}u$. Daher ist ${}R$ faktoriell.

$\Box$