Normaler noetherscher Bereich/Divisorenklassengruppe/Einführung/Textabschnitt

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Es sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich mit dem Quotientenkörper

Wegen der Normalität sind die Lokalisierungen an Primidealen der Höhe diskrete Bewertungsringe. D.h. dass es ein Element mit

gibt. Jedes Element , , besitzt somit in eine eindeutige Darstellung mit einer Einheit und mit . Die Zahl nennt man die Ordnung von in . Bei spricht man auch von der Verschwindungsordnung und bei nennt man auch die Polordnung. Zu zwei ELementen ist

Für ein Element , , ist dabei die Ordnung in genau dann positiv, wenn ist. Da es oberhalb von nur endlich viele minimale Primoberideale gibt, besitzt nur in endlich vielen Primidealen der Höhe eine positive verschwindungsordnung, sonst ist die Ordnung gleich . Wenn ist, so ergibt sich aus dieser Beobachtung, dass die Ordnung von nur an endlich vielen Primidealen der Höhe eine Ordnung besitzt, die nicht ist. Abweichendes Verhalten gibt es nur bei den minimalen Primoberidealen von und von .



Definition  

Es sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich mit Quotientenkörper . Es sei , . Dann heißt die Abbildung, die jedem Primideal der Höhe in die Ordnung zuordnet, der durch definierte Hauptdivisor. Er wird mit bezeichnet und als formale Summe

geschrieben.



Definition  

Es sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich. Ein Divisor ist eine formale Summe

die sich über alle Primideale der Höhe aus erstreckt und wobei ganze Zahlen mit für fast alle sind.



Definition  

Es sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich. Es sei die Gruppe der Divisoren und sei die Untergruppe der Hauptdivisoren. Dann nennt man die Restklassengruppe

die Divisorenklassengruppe von .



Lemma  

Sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich und ein Primideal in der Höhe . Dann hat die Ordnung an , also die Abbildung

folgende Eigenschaften.

  1. .
  2. .
  3. genau dann, wenn .

Beweis  




Satz  

Es sei ein normaler noetherscher Integritätsbereich und es bezeichne die Divisorenklassengruppe von . Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

  1. ist faktoriell.
  2. Jedes Primideal der Höhe ist ein Hauptideal.
  3. Jeder Divisor ist ein Hauptdivisor.
  4. Es ist .

Beweis  

Sei (1) erfüllt und ein Primideal der Höhe . Es gibt ein Element , . Dieses hat eine Primfaktorzerlegung und aufgrund der Primeigenschaft muss für ein sein. Dann ist aber wegen der Höhenbedingung . Sei nun jedes Primideal der Höhe Hauptideal. Dann gilt mit

die Divisorbeziehung

da in keinem anderen Primideal der Höhe enthalten ist und da auch in ein Erzeuger von ist. Somit sind die Gruppenerzeuger der Divisorenklasengruppe Hauptdivisoren und damit sind überhaupt alle Divisoren Hauptdivisoren. Die Äquivalenz von (3) und (4) ist klar. Sei nun vorausgesetzt, dass jeder Divisor ein Hauptdivisor ist. Dann gibt es zu einem Primideal der Höhe ein , , mit

Wegen der Nichtnegativität des Hauptdivisors ist nach Fakt . Somit ist nur in als einzigem Primideal der Höhe enthalten. Sei . Dann ist

und somit ist , also und damit .

Sei schließlich (2) erfüllt, und , . Es seien die minimalen Primoberideale von . Nach dem Krullschen Hauptidealsatz besitzen diese alle die Höhe . Sei mit Primelementen . Es ist

Das Element besitzt den gleichen Hauptdivisor. Deshalb ist der Quotient eine Einheit und

mit einer Einheit . Daher ist faktoriell.