Offene Menge/C/Homologie und holomorphe Differentialformen/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei $\omega$ eine holomorphe Differentialform auf einer zusammenhängenden offenen Menge  $U\subseteq ℂ$. 

Dann ist die Zuordnung

${\Psi }_{\omega }:{\pi }_1(U)⟶ℂ,\gamma ⟼{\int }_{\gamma }\omega ,$

ein wohldefinierter Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Die Wohldefiniertheit beruht auf Fakt, die Homomorphieeigenschaft auf Fakt  (3).

$◻$

Diese Abbildung nennt man auch die Periodenabbildung zu $\omega$.

Die Fundamentalgruppe eines topologischen Raumes ist im Allgemeinen nicht kommutativ. Man kann aber jeder nichtkommutativen Gruppe eine kommutative Gruppe zuordnen, indem man die Restklassengruppe modulo der Kommutatoruntergruppe bildet, siehe die Aufgaben. Im Fall der Fundamentalgruppe nennt man

$H_1(X,\mathbb{Z}):={\pi }_1(X)/[{\pi }_1(X),{\pi }_1(X)]$

die erste Homologiegruppe von $X$.

Definition

Es sei $X$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Man nennt

$H_1(X,\mathbb{Z}):={\pi }_1(X)/[{\pi }_1(X),{\pi }_1(X)]$

die erste singuläre Homologiegruppe (mit Werten in $\mathbb{Z}$).

Diese kann man auch anders und auch mit anderen Koeffizientengruppen, etwa mit $ℝ$ statt mit $\mathbb{Z}$, konstruieren.

Definition

Es sei $X$ ein zusammenhängender topologischer Raum. Man nennt einen geschlossenen stetigen Weg

$\gamma :[a,b]⟶X$

nullhomolog, wenn seine Klasse in der ersten Homologiegruppe gleich $0$ ist.

Dies bedeutet einfach, dass die Homotopieklasse in der Kommutatoruntergruppe der Fundamentalgruppe liegt.

Korollar

Es sei $f:U\to ℂ$ eine auf einer offenen Menge  $U\subseteq ℂ$  definierte holomorphe Funktion und sei

$\gamma :[a,b]⟶U$

ein nullhomologer stetiger geschlossener Weg in $U$.

Dann ist

${\int }_{\gamma }f(z)dz=0.$

Beweis

Zur holomorphen Differentialform

$\omega =fdz$

betrachten wir die Wegauswertung

${\Psi }_{\omega }:{\pi }_1(U)⟶ℂ,\gamma ⟼{\int }_{\gamma }\omega ,$

die nach Fakt ein Gruppenhomomorphismus ist. Da die Gruppe $(ℂ,+,0)$ kommutativ ist, besitzt ${\Psi }_{\omega }$ nach dem Homomorphiesatz eine Faktorisierung

${\pi }_1(U)\stackrel{}{⟶}{H}_1(U,\mathbb{Z})={\pi }_1(U)/[{\pi }_1(U),{\pi }_1(U)]⟶ℂ.$

Die Nullhomologie von $\gamma$ bedeutet, dass die Klasse von $\gamma$ in $H_1(U,\mathbb{Z})$ gleich $0$ ist, somit ist auch der Wert rechts gleich $0$.

$◻$