Pi/Nullstelle des Kosinus/Einführung/Textabschnitt

Die Zahl ${}\pi$ ist der Flächeninhalt bzw. der halbe Kreisumfang eines Kreises mit Radius ${}1$. Um darauf eine präzise Definition dieser Zahl aufzubauen müsste man zuerst die Maßtheorie (bzw. die Länge von „krummen Kurven“) entwickeln. Auch die trigonometrischen Funktionen haben eine intuitive Interpretation am Einheitskreis, doch auch diese setzt das Konzept der Bogenlänge voraus. Ein alternativer Zugang ist es, die Zahl ${}\pi$ über analytische Eigenschaften der durch ihre Potenzreihen definierten Funktionen Sinus und Kosinus zu definieren und dann erst nach und nach die Beziehung zum Kreis herzustellen (siehe Beispiel und Beispiel).

Lemma

Die Kosinusfunktion

besitzt im reellen Intervall ${}[0,2]$ genau eine Nullstelle.

Beweis

Wir betrachten die Kosinusreihe

${}\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}\,.$

Für ${}x=0$ ist ${}\cos 0=1$. Für ${}x=2$ kann man geschickt klammern und erhält

${}{\begin{aligned}\cos 2&=1-{\frac {2^{2}}{2!}}+{\frac {2^{4}}{4!}}-{\frac {2^{6}}{6!}}+{\frac {2^{8}}{8!}}-\ldots \\&=1-{\frac {2^{2}}{2!}}{\left(1-{\frac {4}{3\cdot 4}}\right)}-{\frac {2^{6}}{6!}}{\left(1-{\frac {4}{7\cdot 8}}\right)}-\ldots \\&=1-2(2/3)-\ldots \\&\leq -1/3.\end{aligned}}$

Nach dem Zwischenwertsatz gibt es also mindestens eine Nullstelle im angegebenen Intervall.
Zum Beweis der Eindeutigkeit betrachten wir die Ableitung des Kosinus, diese ist nach Fakt

${}\cos 'x=-\sin x\,.$

Es genügt zu zeigen, dass der Sinus im Intervall ${}]0,2[$ positiv ist, denn dann ist das Negative davon stets negativ und der Kosinus ist dann nach Fakt im angegebenen Intervall streng fallend, sodass es nur eine Nullstelle gibt. Für ${}x\in {]0,2]}$ gilt

${}{\begin{aligned}\sin x&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \\&=x{\left(1-{\frac {x^{2}}{3!}}\right)}+{\frac {x^{5}}{5!}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{6\cdot 7}}\right)}+\ldots \\&\geq x{\left(1-{\frac {4}{3!}}\right)}+{\frac {x^{5}}{5!}}{\left(1-{\frac {4}{6\cdot 7}}\right)}+\ldots \\&\geq x/3\\&>0.\end{aligned}}$

$\Box$

Eine rationale Approximation der Zahl ${}\pi$ auf einem ${}\pi$-Pie.

Definition

Es sei ${}s$ die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall ${}[0,2]$. Die Kreiszahl ${}\pi$ ist durch

${}\pi :=2s\,$

definiert.