Es sei
g
=
∑
n
=
0
∞
a
n
(
z
−
a
)
n
{\displaystyle {}g=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}\,}
eine
konvergente Potenzreihe
mit dem
Konvergenzradius
R
>
0
{\displaystyle {}R>0}
Dann ist auch die formal abgeleitete Potenzreihe
g
~
=
∑
n
=
1
∞
n
a
n
(
z
−
a
)
n
−
1
{\displaystyle {}{\tilde {g}}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(z-a)^{n-1}\,}
konvergent mit demselben Konvergenzradius. Die durch die Potenzreihe
g
{\displaystyle {}g}
f
{\displaystyle {}f}
z
∈
U
(
a
,
R
)
{\displaystyle {}z\in U{\left(a,R\right)}}
differenzierbar
mit
f
′
(
z
)
=
g
~
(
z
)
.
{\displaystyle {}f'(z)={\tilde {g}}(z)\,.}
Es sei
s
∈
R
+
{\displaystyle {}s\in \mathbb {R} _{+}}
s
<
R
{\displaystyle {}s<R}
r
{\displaystyle {}r}
s
<
r
<
R
{\displaystyle {}s<r<R}
∑
n
=
0
∞
|
a
n
|
r
n
{\displaystyle {}\sum _{n=0}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n}}
n
≤
(
r
s
)
n
{\displaystyle {}n\leq {\left({\frac {r}{s}}\right)}^{n}}
n
{\displaystyle {}n}
∑
n
=
1
∞
n
|
a
n
|
s
n
−
1
=
∑
n
=
1
N
n
|
a
n
|
s
n
−
1
+
∑
n
=
N
+
1
∞
n
|
a
n
|
s
n
−
1
≤
∑
n
=
1
N
n
|
a
n
|
s
n
−
1
+
1
s
∑
n
=
N
+
1
∞
|
a
n
|
r
n
,
{\displaystyle {}{\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}&=\sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+\sum _{n=N+1}^{\infty }n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}\\&\leq \sum _{n=1}^{N}n\vert {a_{n}}\vert s^{n-1}+{\frac {1}{s}}\sum _{n=N+1}^{\infty }\vert {a_{n}}\vert r^{n},\end{aligned}}}
sodass die Potenzreihe
g
~
{\displaystyle {}{\tilde {g}}}
B
(
a
,
s
)
{\displaystyle {}B\left(a,s\right)}
U
(
a
,
R
)
{\displaystyle {}U{\left(a,R\right)}}
g
~
{\displaystyle {}{\tilde {g}}}
R
{\displaystyle {}R}
Aufgabe ).
ρ
(
z
)
=
∑
n
=
2
∞
a
n
(
z
−
a
)
n
−
1
{\displaystyle {}\rho (z)=\sum _{n=2}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n-1}\,}
ist ebenfalls in dieser Kreisscheibe konvergent, stellt eine nach
Fakt
stetige Funktion dar und besitzt in
a
{\displaystyle {}a}
0
{\displaystyle {}0}
f
(
z
)
=
f
(
a
)
+
a
1
(
z
−
a
)
+
ρ
(
z
)
(
z
−
a
)
,
{\displaystyle {}f(z)=f(a)+a_{1}(z-a)+\rho (z)(z-a)\,,}
dass
f
{\displaystyle {}f}
a
{\displaystyle {}a}
Fakt
differenzierbar ist mit der Ableitung
f
′
(
a
)
=
a
1
=
g
~
(
a
)
.
{\displaystyle {}f'(a)=a_{1}={\tilde {g}}(a)\,.}
Es sei nun
b
∈
U
(
a
,
R
)
{\displaystyle {}b\in U{\left(a,R\right)}}
Entwicklungssatz
gibt es eine konvergente Potenzreihe mit Entwicklungspunkt
b
{\displaystyle {}b}
h
(
z
)
=
∑
n
=
0
∞
b
n
(
z
−
b
)
n
,
{\displaystyle {}h(z)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(z-b)^{n}\,,}
deren dargestellte Funktion mit der durch
g
{\displaystyle {}g}
b
{\displaystyle {}b}
b
1
=
∑
n
=
1
∞
n
a
n
(
b
−
a
)
n
−
1
{\displaystyle {}b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}}
h
{\displaystyle {}h}
h
~
{\displaystyle {}{\tilde {h}}}
f
′
(
b
)
=
h
~
(
b
)
=
b
1
=
∑
n
=
1
∞
n
a
n
(
b
−
a
)
n
−
1
=
g
~
(
b
)
.
{\displaystyle {}f'(b)={\tilde {h}}(b)=b_{1}=\sum _{n=1}^{\infty }na_{n}(b-a)^{n-1}={\tilde {g}}(b)\,.}
◻
{\displaystyle \Box }
Eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion
ist in ihrem Konvergenzbereich unendlich oft differenzierbar.
Dies ergibt sich direkt aus
Fakt .
◻
{\displaystyle \Box }
Die
Exponentialfunktion
C
⟶
C
,
z
⟼
exp
z
,
{\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \exp z,}
ist
differenzierbar
mit
exp
′
(
z
)
=
exp
z
.
{\displaystyle {}\exp \!'(z)=\exp z\,.}
Beweis
Siehe
Aufgabe .
◻
{\displaystyle \Box }
Die
Sinusfunktion
C
⟶
C
,
z
⟼
sin
z
,
{\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \sin z,}
ist
differenzierbar
mit
sin
′
(
z
)
=
cos
z
{\displaystyle {}\sin \!'(z)=\cos z\,}
und die
Kosinusfunktion
C
⟶
C
,
z
⟼
cos
z
,
{\displaystyle {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,z\longmapsto \cos z,}
ist differenzierbar mit
cos
′
(
z
)
=
−
sin
z
.
{\displaystyle {}\cos \!'(z)=-\sin z\,.}
Beweis
Siehe
Aufgabe .
◻
{\displaystyle \Box }
ganze Funktionen .
