Potenzreihenring/Eine Variable/Körper/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}T$ eine Variable. Eine formale Potenzreihe in ${}T$ über ${}K$ ist ein Ausdruck der Form

${}F=\sum _{n\in \mathbb {N} }a_{n}T^{n}\,,$

mit ${}a_{n}\in K$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$.

Man addiert zwei Potenzreihen komponentenweise und multipliziert sie in der gleichen Weise wie Polynome. D.h. man setzt

${}F\cdot G={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}={\sum }_{k=0}^{\infty }c_{k}T^{k}\,$

mit ${}c_{k}=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}$. Die Multiplikation ist also durch das Cauchy-Produkt gegeben.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Dann bezeichnet man mit

$K[\![T]\!]$

den Potenzreihenring in einer Variablen (oder den Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen) über ${}K$.

Lemma

Der Ring der formalen Potenzreihen ${}K[\![T]\!]$ in einer Variablen über einem Körper ${}K$

ist ein kommutativer Ring.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[\![T]\!]$ der Ring der formalen Potenzreihen in einer Variablen.

Dann ist eine formale Potenzreihe ${}F={\sum }_{n=0}^{\infty }a_{n}T^{n}$ genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term ${}a_{0}\neq 0$ ist.

Beweis

Die angegebene Bedingung ist notwendig, da die Abbildung

$K[\![T]\!]\longrightarrow K,\,F\longmapsto a_{0},$

die eine Potenzreihe ${}F$ auf ihren konstanten Term schickt, ein Ringhomomorphismus ist, siehe Aufgabe. Für die Umkehrung müssen wir eine Potenzreihe ${}G={\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}$ mit

${}FG={\left({\sum }_{i=0}^{\infty }a_{i}T^{i}\right)}{\left({\sum }_{j=0}^{\infty }b_{j}T^{j}\right)}=1\,$

angeben. Für ${}b_{0}$ ergibt sich daraus die Bedingung ${}a_{0}b_{0}=1$, die wegen ${}a_{0}\neq 0$ eine eindeutige Lösung besitzt, nämlich ${}b_{0}=a_{0}^{-1}$. Nehmen wir induktiv an, dass die Koeffizienten ${}b_{j}$ für ${}j<n$ schon konstruiert seien, und zwar derart, dass sämtliche Koeffizienten ${}c_{k}$, ${}1\leq k<n$, der Produktreihe ${}FG$ gleich ${}0$ sind. Für den ${}n$-ten Koeffizienten ergibt sich die Bedingung

${}0=c_{n}=a_{0}b_{n}+a_{1}b_{n-1}+\cdots +a_{n-1}b_{1}+a_{n}b_{0}\,.$

Dabei sind bis auf ${}b_{n}$ alle Werte schon festgelegt, und wegen ${}a_{0}\neq 0$ ergibt sich eine eindeutige Lösung für ${}b_{n}$.

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Beispiel

Wir betrachten ${}1-T$ im Potenzreihenring ${}K[\![T]\!]$ über einem beliebigen Körper ${}K$. Nach Fakt besitzt ${}1-T$ ein inverses Element, das man über den Ansatz

${}1={\left(1-T\right)}{\left(b_{0}+b_{1}T+b_{2}T^{2}+b_{3}T^{3}+\ldots \right)}\,$

bestimmen kann. Induktiv ergibt sich, dass ${}b_{n}=1$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist, das Inverse ist also die (formale) geometrische Reihe.

Korollar

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}R=K[\![T]\!]$ der Potenzreihenring in einer Variablen.

Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring.

Beweis

Zunächst ist ${}R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(T)$. Wenn nämlich eine Potenzreihe ${}F$ keine Einheit ist, so muss nach Fakt der konstante Term von ${}F$ gleich ${}0$ sein. Dann kann man aber ${}F=T{\tilde {F}}$ mit der umindizierten Potenzreihe ${}{\tilde {F}}$ schreiben. Die Nullteilerfreiheit folgt durch Betrachten der Anfangsterme: Sind ${}F$ und ${}G$ von ${}0$ verschiedene Potenzreihen, so ist

${}F=a_{k}T^{k}+a_{k+1}T^{k+1}+\ldots \,$

und

${}G=b_{\ell }T^{\ell }+a_{\ell +1}T^{\ell +1}+\ldots \,$

mit ${}a_{k},b_{\ell }\neq 0$. Für die Produktreihe ist dann der Koeffizient

${}c_{k+\ell }=a_{k}b_{\ell }\neq 0\,,$

da die kleineren Koeffizienten alle ${}0$ sind. Es bleibt also noch noethersch zu zeigen. Es ergibt sich aber direkt, dass ein Hauptidealbereich vorliegt, und zwar wird jedes Ideal ${}\neq 0$ von ${}T^{j}$ erzeugt, wobei ${}j$ das Minimum über alle Indizes von Koeffizienten ${}\neq 0$ von Potenzreihen in dem Ideal ist.

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