Rationale Zahlen/Brüche/Körper/2/Einführung/Textabschnitt
Ein kommutativer Ring heißt Körper, wenn ist und wenn jedes von verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.
Ein Körper ist also insbesondere ein kommutativer Ring. Jede Eigenschaft, die in einem kommutativen Ring gilt, gilt auch in einem Körper (aber nicht umgekehrt).
Die beiden wichtigsten Körper sind für uns der Körper der rationalen Zahlen und der Körper der reellen Zahlen, der Körper mit zwei Elementen wurde in Beispiel besprochen. Zu einem Element bezeichnet man, wie in jedem kommutativen Ring, dasjenige Element, das mit addiert die ergibt, als das Negative von , geschrieben . Zu einem Element , , bezeichnet man dasjenige Element, das mit multipliziert die ergibt, als das Inverse von (oder den Kehrwert von oder die zu reziproke Zahl), geschrieben . Auch dieses ist eindeutig bestimmt.
In einem Körper wird für beliebige Elemente mit , die Bruchschreibweise
verwendet. Es handelt sich also um eine Abkürzung für das Produkt von mit dem inversen Element von . Die Zahl ist das eindeutig bestimmte Element, das mit multipliziert das Element ergibt. Diese Schreibweise passt mit der Bruchschreibweise für rationale Zahlen zusammen, da ja
ist.
Die Berechnung von
nennt man Division, wobei der Dividend und der Divisor der Division heißt, das Ergebnis heißt Quotient.
In einem Körper ist wie in jedem kommutativen Ring die additive Struktur eine kommutative Gruppe. Insbesondere besitzt in jedem Körper eine Gleichung der Form
mit eine eindeutige Lösung, nämlich
wie sich direkt aus Fakt ergibt. Darüber hinaus ist zu jedem Körper die multiplikative Struktur, wenn man die herausnimmt, also eine kommutative Gruppe. Dies bedeutet wiederum, dass eine Gleichung der Form
mit eine eindeutige Lösung in besitzt, nämlich
Die folgende Eigenschaft heißt die Nichtnullteilereigenschaft eines Körpers. Sie gilt auch für , im Allgemeinen aber nicht für jeden kommutativen Ring, siehe Aufgabe.
In einem Körper kann man die Potenzschreibweise erweitern. Zu
, ,
und einer natürlichen Zahl
versteht man, wie in jedem kommutativen Ring, unter das -fache Produkt von mit sich selbst
( Faktoren).
Für negatives
schreibt man
mit
und setzt
Für diese Potenzen gelten die folgenden Potenzgesetze, die die Potenzgesetze für positive Exponenten (siehe Fakt), die in jedem kommutativen Halbring gelten, wesentlich erweitern.
Es sei ein Körper und seien Elemente aus . Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für .
- Es ist
- Es ist das inverse Element zu .