Rationale Zahlen/Brüche/Körper/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine Menge ${}K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K\longrightarrow K{\text{ und }}\cdot :K\times K\longrightarrow K$

und zwei verschiedene Elemente ${}0,1\in K$ gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a+b)+c=a+(b+c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a+b=b+a$.
   3. ${}0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a+0=a$.
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem ${}a\in K$ gibt es ein Element ${}b\in K$ mit ${}a+b=0$.
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt: ${}(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
   2. Kommutativgesetz: Für alle ${}a,b\in K$ gilt ${}a\cdot b=b\cdot a$.
   3. ${}1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ${}a\in K$ ist ${}a\cdot 1=a$.
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem ${}a\in K$ mit ${}a\neq 0$ gibt es ein Element ${}c\in K$ mit ${}a\cdot c=1$.
3. Distributivgesetz: Für alle ${}a,b,c\in K$ gilt ${}a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$.

Da wir den Ringbegriff schon haben, kann man auch die folgende kürzere Definition verwenden.

Definition

Ein kommutativer Ring ${}R$ heißt Körper, wenn ${}R\neq 0$ ist und wenn jedes von ${}0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Ein Körper ist also insbesondere ein kommutativer Ring. Jede Eigenschaft, die in einem kommutativen Ring gilt, gilt auch in einem Körper (aber nicht umgekehrt).

Die beiden wichtigsten Körper sind für uns der Körper der rationalen Zahlen und der Körper der reellen Zahlen, der Körper mit zwei Elementen wurde in Beispiel besprochen. Zu einem Element ${}x\in K$ bezeichnet man, wie in jedem kommutativen Ring, dasjenige Element, das mit ${}x$ addiert die ${}0$ ergibt, als das Negative von ${}x$, geschrieben ${}-x$. Zu einem Element ${}x\in K$, ${}x\neq 0$, bezeichnet man dasjenige Element, das mit ${}x$ multipliziert die ${}1$ ergibt, als das Inverse von ${}x$ (oder den Kehrwert von ${}x$ oder die zu ${}x$ reziproke Zahl), geschrieben ${}x^{-1}$. Auch dieses ist eindeutig bestimmt.

Bemerkung  

In einem Körper ${}K$ wird für beliebige Elemente ${}x,y\in K$ mit ${}y\neq 0$, die Bruchschreibweise

${}{\frac {x}{y}}:=x\cdot y^{-1}\,$

verwendet. Es handelt sich also um eine Abkürzung für das Produkt von ${}x$ mit dem inversen Element von ${}y$. Die Zahl ${}{\frac {x}{y}}$ ist das eindeutig bestimmte Element, das mit ${}y$ multipliziert das Element ${}x$ ergibt. Diese Schreibweise passt mit der Bruchschreibweise für rationale Zahlen zusammen, da ja

${}{\frac {a}{b}}\cdot b={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {b}{1}}={\frac {ab}{b}}=a\,$

ist.

Die Berechnung von

${}{\frac {x}{y}}=x:y\,$

nennt man Division, wobei ${}x$ der Dividend und ${}y$ der Divisor der Division heißt, das Ergebnis heißt Quotient.

Bemerkung  

In einem Körper ${}K$ ist wie in jedem kommutativen Ring die additive Struktur ${}(K,0,+)$ eine kommutative Gruppe. Insbesondere besitzt in jedem Körper eine Gleichung der Form

${}a+x=b\,$

mit ${}a,b\in K$ eine eindeutige Lösung, nämlich

${}b-a=b+(-a)\,,$

wie sich direkt aus Fakt ergibt. Darüber hinaus ist zu jedem Körper ${}K$ die multiplikative Struktur, wenn man die ${}0$ herausnimmt, also ${}(K\setminus \{0\},\cdot ,1)$ eine kommutative Gruppe. Dies bedeutet wiederum, dass eine Gleichung der Form

${}c\cdot x=d\,$

mit ${}c,d\neq 0$ eine eindeutige Lösung in ${}K$ besitzt, nämlich

${}dc^{-1}={\frac {d}{c}}\,.$

Die folgende Eigenschaft heißt die Nichtnullteilereigenschaft eines Körpers. Sie gilt auch für ${}\mathbb {Z}$, im Allgemeinen aber nicht für jeden kommutativen Ring, siehe Aufgabe.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper. Aus ${}a\cdot b=0$

folgt ${}a=0$ oder ${}b=0$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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In einem Körper ${}K$ kann man die Potenzschreibweise erweitern. Zu ${}x\in K$, ${}x\neq 0$, und einer natürlichen Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ versteht man, wie in jedem kommutativen Ring, unter ${}x^{n}$ das ${}n$-fache Produkt von ${}x$ mit sich selbst (${}n$ Faktoren). Für negatives ${}n\in \mathbb {Z} _{-}$ schreibt man ${}n=-k$ mit ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und setzt

${}x^{n}:={\left(x^{-1}\right)}^{k}={\left(x^{-1}\right)}^{-n}={\left(x^{-n}\right)}^{-1}\,.$

Für diese Potenzen gelten die folgenden Potenzgesetze, die die Potenzgesetze für positive Exponenten (siehe Fakt), die in jedem kommutativen Halbring gelten, wesentlich erweitern.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}a,b\neq 0$ Elemente aus ${}K$. Dann gelten die folgenden Potenzgesetze für ${}m,n\in \mathbb {Z}$.

1. Es ist

   ${}{\left(a^{-1}\right)}^{-1}=a\,.$

2. Es ist ${}a^{-n}={\left(a^{-1}\right)}^{n}$ das inverse Element zu ${}a^{n}$.

3. ${}a^{m+n}=a^{m}\cdot a^{n}\,.$

4. ${}(a^{m})^{n}=a^{mn}\,.$

5. ${}(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}\,.$

Beweis

(1) folgt aus Aufgabe, da ${}K\setminus \{0\}$ eine Gruppe ist. (2). Bei ${}n\in \mathbb {N}$ ist die linke Gleichheit eine Definition und die Behauptung folgt aus

${}{\left(a^{-1}\right)}^{n}\cdot a^{n}={\left(a^{-1}a\right)}^{n}=1\,.$

Daraus folgt auch die Aussage für negatives ${}n$. Für (3), (4), (5) siehe Aufgabe.

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