Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Zu jeder rationalen Zahl ${}q$

gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}q\leq n\,.$

Beweis

Sei

${}q={\frac {a}{b}}\,$

mit positivem ${}b$. Wenn ${}a$ negativ ist, kann man jede natürliche Zahl nehmen. Wenn ${}a$ nicht negativ ist, so ist

${}a\leq ba\,$

und damit

${}q\leq a\,$

gemäß der Definition der Ordnung auf den rationalen Zahlen.

$\Box$

Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper (und jeder angeordnete Ring ${}\neq 0$) die ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$ enthält.

Definition

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt ${}K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem ${}x\in K$ eine natürliche Zahl ${}n$ mit

${}n\geq x\,$

gibt.

Gemäß Fakt sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später in Fakt sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Man kann sich darüber streiten, ob jeder angeordnete Körper, für den die Zahlengerade ein sinnvolles Modell ist, bereits archimedisch angeordnet ist. Da die Zahlengerade eine geometrisch-intuitives Konstrukt ist, lässt sich dies nicht endgültig entscheiden. Es geht um die Frage, ob die Vorstellung einer Zahlengeraden umfasst, dass es jenseits eines jeden Punktes auf der Geraden noch größere natürliche Zahlen gibt. Unabhängig davon sei bemerkt, dass es angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind, siehe Aufgabe.

Lemma

In einem archimedisch angeordneten Körper ${}K$

gibt es zu jedem Element ${}x\in K$ eine eindeutig bestimmte ganze Zahl ${}n\in \mathbb {Z}$ mit

${}n\leq x<n+1\,.$

Beweis

Dass es ganze Zahlen ${}a,b$ mit

${}a\leq x<b\,$

gibt folgt unmittelbar aus der Definition bzw. für die untere Grenze aus Aufgabe. Da es nur endlich viele ganze Zahlen zwischen ${}a$ und ${}b$ gibt, findet man auch die zu ${}x$ nächstliegenden ganzen Zahlen.

$\Box$

Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß ${}y$ ist und egal wie klein ein positives ${}x$ ist, man kann stets mit hinreichend vielen ${}x$ die Zahl ${}y$ übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu ${}x,y\in K$ mit ${}x>0$ stets ein ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}nx>y$.

Beweis

Wir betrachten ${}y/x$. Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein ${}n$ mit ${}n\geq y/x$. Da ${}x$ positiv ist, gilt nach Fakt  (6) auch ${}nx\geq y$.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei ${}x>0$.

Dann gibt es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}{\frac {1}{n}}\leq x$.

Beweis

Es ist ${}x^{-1}$ eine nach Fakt  (1) positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}n\geq x^{-1}>0$. Dies ist nach Fakt  (4) äquivalent zu

${}{\frac {1}{n}}=n^{-1}\leq {\left(x^{-1}\right)}^{-1}=x\,.$

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Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei ${}B$ an eine sehr große und bei ${}\epsilon$ an eine sehr kleine Zahl.

Lemma

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x>1$.

Dann gibt es zu jedem ${}B\in K$ eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}x^{n}\geq B\,.$

Beweis

Wir schreiben ${}x=1+u$ mit ${}u>0$. Aufgrund von Fakt gibt es eine natürliche Zahl ${}n$ mit ${}nu\geq B-1$. Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung

${}x^{n}=(1+u)^{n}\geq 1+nu\geq 1+B-1=B\,.$

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein archimedisch angeordneter Körper und ${}x\in K$ mit ${}0<x<1$.

Dann gibt es zu jedem positiven ${}\epsilon \in K$ eine natürliche Zahl ${}n\in \mathbb {N}$ mit

${}x^{n}\leq \epsilon \,.$

Beweis

Sei ${}y:=x^{-1}$ und ${}B:=\epsilon ^{-1}$. Nach Fakt gibt es ein ${}n$ mit

${}y^{n}\geq B\,.$

Durch Übergang zu den inversen Elementen erhält man gemäß Fakt  (4) die Behauptung.

$\Box$