Rationale Zahlen/Elementar/Ordnung/Archimedisch/Einführung/Textabschnitt

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Lemma  

Zu jeder rationalen Zahl

gibt es eine natürliche Zahl mit

Beweis  

Sei

mit positivem . Wenn negativ ist, kann man jede natürliche Zahl nehmen. Wenn nicht negativ ist, so ist

und damit

gemäß der Definition der Ordnung auf den rationalen Zahlen.


Vor der folgenden Definition erinnern wir daran, dass jeder angeordnete Körper (und jeder angeordnete Ring ) die ganzen Zahlen enthält.


Definition  

Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem eine natürliche Zahl mit

gibt.

Gemäß Fakt sind die rationalen Zahlen archimedisch angeordnet. Die reellen Zahlen bilden ebenfalls, wie wir später in Fakt sehen werden, einen archimedisch angeordneten Körper. Man kann sich darüber streiten, ob jeder angeordnete Körper, für den die Zahlengerade ein sinnvolles Modell ist, bereits archimedisch angeordnet ist. Da die Zahlengerade eine geometrisch-intuitives Konstrukt ist, lässt sich dies nicht endgültig entscheiden. Es geht um die Frage, ob die Vorstellung einer Zahlengeraden umfasst, dass es jenseits eines jeden Punktes auf der Geraden noch größere natürliche Zahlen gibt. Unabhängig davon sei bemerkt, dass es angeordnete Körper gibt, die nicht archimedisch angeordnet sind, siehe Aufgabe.



Lemma  

In einem archimedisch angeordneten Körper

gibt es zu jedem Element eine eindeutig bestimmte ganze Zahl mit

Beweis  

Dass es ganze Zahlen mit

gibt folgt unmittelbar aus der Definition bzw. für die untere Grenze aus Aufgabe. Da es nur endlich viele ganze Zahlen zwischen und gibt, findet man auch die zu nächstliegenden ganzen Zahlen.


Zandlineaal-schuin.jpg
Dune 7 in the Namib Desert.jpeg


Die folgende wichtige Aussage sollte man so lesen: Egal wie groß ist und egal wie klein ein positives ist, man kann stets mit hinreichend vielen die Zahl übertreffen. Egal wie klein eine Strecke ist, wenn man sie hinreichend oft hintereinander legt, übertrifft man damit jede gegebene Strecke. Mit Sandkörnern beliebig kleiner Größe kann man eine beliebig große Sanddüne aufbauen.



Lemma  

Sei ein archimedisch angeordneter Körper.

Dann gibt es zu mit stets ein mit .

Beweis  

Wir betrachten . Aufgrund des Archimedes-Axioms gibt es ein mit . Da positiv ist, gilt nach Fakt  (6) auch .




Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper. Es sei .

Dann gibt es eine natürliche Zahl mit .

Beweis  

Es ist eine nach Fakt  (1) positive Zahl und daher gibt es eine natürliche Zahl mit . Dies ist nach Fakt  (4) äquivalent zu


Bei den beiden folgenden Aussagen denke man bei an eine sehr große und bei an eine sehr kleine Zahl.



Lemma  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und .

Dann gibt es zu jedem eine natürliche Zahl mit

Beweis  

Wir schreiben  mit . Aufgrund von Fakt gibt es eine natürliche Zahl mit . Damit gilt unter Verwendung der Bernoulli-Ungleichung die Abschätzung




Korollar  

Es sei ein archimedisch angeordneter Körper und mit .

Dann gibt es zu jedem positiven eine natürliche Zahl mit

Beweis  

Sei und . Nach Fakt gibt es ein mit

Durch Übergang zu den inversen Elementen erhält man gemäß Fakt  (4) die Behauptung.