Reelle Funktionen/Stetig/Rechenregeln/Textabschnitt

Lemma

Es seien ${}D\subseteq \mathbb {R}$ und ${}E\subseteq \mathbb {R}$ Teilmengen und

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

und

$g\colon E\longrightarrow \mathbb {R}$

Funktionen mit ${}f(D)\subseteq E$. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Wenn ${}f$ in ${}x\in D$ und ${}g$ in ${}f(x)$ stetig sind, so ist auch die Hintereinanderschaltung ${}g\circ f$ in ${}x$ stetig.
2. Wenn ${}f$ und ${}g$ stetig sind, so ist auch ${}g\circ f$ stetig.

Beweis

Die Aussage (1) ergibt sich direkt aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit. Daraus folgt auch (2).

$\Box$

Satz

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ und seien

$f,g\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

stetige Funktionen.

Dann sind auch die Funktionen

$f+g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)+g(x),$

$f-g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)-g(x),$

$f\cdot g\colon D\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)\cdot g(x),$

stetig. Für eine Teilmenge ${}U\subseteq D$, auf der ${}g$ keine Nullstelle besitzt, ist auch die Funktion

$f/g\colon U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x)/g(x),$

stetig.

Beweis

Dies ergibt sich aus der Folgencharakterisierung der Stetigkeit und Fakt.

$\Box$

Korollar

Polynomfunktionen

$P\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto P(x),$

sind stetig.

Beweis

Aufgrund von Beispiel und Fakt sind für jedes ${}n\in \mathbb {N}$ die Potenzen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto x^{n},$

stetig. Daher sind auch für jedes ${}a\in \mathbb {R}$ die Funktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto ax^{n},$

stetig und wiederum aufgrund von Fakt sind auch alle Funktionen

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

stetig.

$\Box$

Eine rationale Funktion ist auf ihrer Definitionsmenge stetig.

Korollar

Es seien ${}P,Q\in \mathbb {R} [X]$ Polynome und es sei ${}U:={\left\{x\in \mathbb {R} \mid Q(x)\neq 0\right\}}$.

Dann ist die rationale Funktion

$U\longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$

stetig.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und Fakt.

$\Box$