Reelle Zahlen/Vollständigkeit/Wurzeln/Textabschnitt

Die Vollständigkeit der reellen Zahlen sichert auch die Existenz einer eindeutig bestimmten Wurzel für eine nichtnegative reelle Zahl. Für Quadratwurzeln folgt dies auch aus Fakt  (1).

Satz

Zu jeder nichtnegativen reellen Zahl ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und jedem ${}k\in \mathbb {N} _{+}$

gibt es eine eindeutige nichtnegative reelle Zahl ${}x$ mit

${}x^{k}=c\,.$

Beweis

Wir betrachten den Dedekindschen Schnitt ${}(A,B)$ mit

${}A={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}<c\right\}}\cup \mathbb {Q} _{-}\,$

und

${}B={\left\{q\in \mathbb {Q} _{\geq 0}\mid q^{k}\geq c\right\}}\,.$

Die Eigenschaften eines Dedekindschen Schnittes beruhen hierbei darauf, dass ${}\geq$ eine totale Ordnung ist, auf dem Archimedes-Axiom, auf Fakt  (8) und auf dem binomischen Lehrsatz, siehe Aufgabe. Nach Fakt gibt es somit ein ${}x\in \mathbb {R}$ mit

${}A={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q<x\right\}}\,.$

Wir behaupten

${}x^{k}=c\,.$

Dies ergibt sich, da die beiden Annahmen ${}x^{k}<c$ bzw. ${}x^{k}>c$ jeweils zu einem Widerspruch führen.

$\Box$

Definition

Zu einer nichtnegativen reellen Zahl ${}c\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ und ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ bezeichnet man mit ${}{\sqrt[{k}]{c}}$ diejenige nichtnegative reelle Zahl, deren ${}k$-te Potenz gleich ${}c$ ist.

Statt ${}{\sqrt[{k}]{c}}$ schreibt man auch ${}c^{\frac {1}{k}}$. Auf der eindeutigen Existenz von Wurzeln aus positiven reellen Zahlen beruht auch das Potenzprinzip, mit dem man in der Regel die Gleichheit von Wurzelausdrücken begründet: Zwei positive Zahlen stimmen bereits dann überein, wenn eine gewisse gleichnamige Potenz von ihnen übereinstimmt. Dieses Prinzip findet im Beweis der nächsten Aussage Verwendung.

Lemma

Es seien ${}a,b$ positive reelle Zahlen und ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Dann gelten die folgenden Aussagen.

1. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}={\sqrt[{mn}]{b}}\,.$

2. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{ab}}={\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\,.$

3. Es ist

   ${}{\sqrt[{m}]{b^{-1}}}={\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{-1}\,.$

Beweis

Wegen der Eindeutigkeit der Wurzeln stimmen zwei positive reellen Zahlen überein, sobald eine gewisse Potenz davon übereinstimmt. Damit kann man die Aussagen auf die Potenzgesetze mit ganzzahligen Exponenten zurückführen.

1. Es ist unter Verwendung von Fakt  (4)

   ${}{\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{mn}={\left({\left({\sqrt[{m}]{\sqrt[{n}]{b}}}\right)}^{m}\right)}^{n}={\left({\sqrt[{n}]{b}}\right)}^{n}=b\,,$

   was auch herauskommt, wenn man von der rechten Seite die ${}mn$-te Potenz nimmt.

2. Nach Fakt  (5) ist

   ${}{\left({\sqrt[{m}]{a}}{\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}={\left({\sqrt[{m}]{a}}\right)}^{m}{\left({\sqrt[{m}]{b}}\right)}^{m}=ab\,,$

   was auch links herauskommt.

3. Dies folgt aus Teil (2) mit ${}a=b^{-1}$.

$\Box$

Definition

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\sqrt {x\cdot y}}$

das geometrische Mittel.