Wir können annehmen, dass das Intervall
kompakt
ist, sagen wir
I
=
[
a
,
b
]
{\displaystyle {}I=[a,b]}
f
{\displaystyle {}f}
beschränkt
nach
Fakt .
Daher gibt es
obere
und
untere Treppenfunktionen
und daher existieren
Oberintegral
und
Unterintegral .
Wir müssen zeigen, dass sie übereinstimmen. Dazu genügt es, zu einem gegebenen
ϵ
>
0
{\displaystyle {}\epsilon >0}
f
{\displaystyle {}f}
≤
ϵ
{\displaystyle {}\leq \epsilon }
Fakt
ist
f
{\displaystyle {}f}
gleichmäßig stetig .
Daher gibt es zu
ϵ
′
=
ϵ
b
−
a
{\displaystyle {}\epsilon '={\frac {\epsilon }{b-a}}}
δ
>
0
{\displaystyle {}\delta >0}
x
,
x
′
∈
I
{\displaystyle {}x,x'\in I}
d
(
x
,
x
′
)
≤
δ
{\displaystyle {}d{\left(x,x'\right)}\leq \delta }
d
(
f
(
x
)
,
f
(
x
′
)
)
≤
ϵ
′
{\displaystyle {}d{\left(f(x),f(x')\right)}\leq \epsilon '}
n
∈
N
{\displaystyle {}n\in \mathbb {N} }
b
−
a
n
≤
δ
{\displaystyle {}{\frac {b-a}{n}}\leq \delta }
a
i
=
a
+
i
b
−
a
n
{\displaystyle {}a_{i}=a+i{\frac {b-a}{n}}}
[
a
i
−
1
,
a
i
]
{\displaystyle {}[a_{i-1},a_{i}]}
i
=
1
,
…
,
n
{\displaystyle {}i=1,\ldots ,n}
Maximum
t
i
=
max
(
f
(
x
)
,
a
i
−
1
≤
x
≤
a
i
)
{\displaystyle {}t_{i}={\max {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}\,}
und dem
Minimum
s
i
=
min
(
f
(
x
)
,
a
i
−
1
≤
x
≤
a
i
)
{\displaystyle {}s_{i}={\min {\left(f(x),a_{i-1}\leq x\leq a_{i}\right)}}\,}
kleiner/gleich
ϵ
′
{\displaystyle {}\epsilon '}
t
(
x
)
:=
{
t
i
für
x
∈
[
a
i
−
1
,
a
i
[
und
1
≤
i
≤
n
−
1
,
t
n
für
x
∈
[
a
n
−
1
,
a
n
]
,
{\displaystyle {}t(x):={\begin{cases}t_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\t_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}\,}
und
s
(
x
)
:=
{
s
i
für
x
∈
[
a
i
−
1
,
a
i
[
und
1
≤
i
≤
n
−
1
,
s
n
für
x
∈
[
a
n
−
1
,
a
n
]
,
{\displaystyle {}s(x):={\begin{cases}s_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\s_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}\,}
sind dann eine obere bzw. untere Treppenfunktion zu
f
{\displaystyle {}f}
∑
i
=
1
n
t
i
b
−
a
n
−
∑
i
=
1
n
s
i
b
−
a
n
=
∑
i
=
1
n
(
t
i
−
s
i
)
b
−
a
n
≤
∑
i
=
1
n
ϵ
′
b
−
a
n
=
∑
i
=
1
n
ϵ
n
=
ϵ
.
{\displaystyle {}\sum _{i=1}^{n}t_{i}{\frac {b-a}{n}}-\sum _{i=1}^{n}s_{i}{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}(t_{i}-s_{i}){\frac {b-a}{n}}\leq \sum _{i=1}^{n}\epsilon '{\frac {b-a}{n}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\epsilon }{n}}=\epsilon \,.}
◻
{\displaystyle \Box }
![{\displaystyle {}I=[a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9415455379ef65b8bcc5629a5e182b7e8909e52)
![{\displaystyle {}[a_{i-1},a_{i}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8cc36a244fed3ab4ae161633df622dd34689433c)
![{\displaystyle {}t(x):={\begin{cases}t_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\t_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b70a474c73a39f984aeb9b4bc41b01b46d11d5f5)
![{\displaystyle {}s(x):={\begin{cases}s_{i}{\text{ für }}x\in [a_{i-1},a_{i}[{\text{ und }}1\leq i\leq n-1\,,\\s_{n}{\text{ für }}x\in [a_{n-1},a_{n}]\,,\end{cases}}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09dfbc7f10adab3a490583c68a2e967af6f138da)
