Riemannsche Fläche/Divisor/Einführung/Textabschnitt

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Eine meromorphe Funktion auf einer riemannschen Fläche besitzt in jedem Punkt eine wohldefinierte Ordnung, die durch eine ganze Zahl gegeben ist. In einer lokalen Beschreibung als Laurentreihe mit dem lokalen Parameter ist die Ordnung die ganze Zahl mit

mit einer holomorphen nullstellenfreien Funktion . Bei positiven liegt in dem Punkt eine Nullstelle der Ordnung vor und im negativen Fall liegt eine Polstelle der Ordnung vor. Dieses für die meromorphe Funktion charakteristische Null- und Polstellenverhalten fasst man in dem folgenden Konzept zusammen.


Definition  

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche und eine meromorphe Funktion auf . Dann nennt man die formale Summe

den Hauptdivisor zu . Er wird mit bezeichnet.


Beispiel  

Es seien Polynome mit den Faktorzerlegungen bzw. , wobei eine endliche Menge sei, die alle Nullstellen von und von umfasse. Dann ist der Hauptdivisor zur rationalen Funktion gleich



Beispiel  

Die Identität auf der projektiven Geraden , also die meromorphe Funktion , besitzt den Hauptdivisor , wenn wir mit die Variable auf und mit den unendlich fernen Punkt bezüglich dieser Einbettung bezeichnen.


Wegen Fakt bzw. der Definition von meromorphen Funktionen ist die Menge der Punkte, in denen die Ordnung nicht ist, wo also eine Nullstelle oder ein Polstelle vorliegt, eine diskrete abgeschlossene Menge. Außerhalb dieser diskreten Menge ist die Funktion holomorph und invertierbar. Der Hauptdivisor ist also ein Divisor im Sinne der folgenden Definition.


Definition  

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche. Man nennt eine formale Summe

mit und der Eigenschaft, dass außerhalb einer diskreten Teilmenge die Zahlen sind, einen Divisor auf .

Einen Divisor kann man also schreiben als

mit einer diskreten Teilmenge und mit für . Man nennt dann den Träger des Divisors.


Definition  

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche. Man nennt die Menge aller Divisoren auf mit der punktweisen Addition die Divisorengruppe von . Sie wird mit bezeichnet.

Die Theorie unterscheidet sich wesentlich danach, ob die riemannsche Fläche kompakt oder nichtkompakt ist. Der Träger des Divisors ist stets eine abgeschlossene diskrete Teilmenge, im kompakten Fall bedeutet dies aber bereits, dass diese Menge endlich ist.



Lemma  

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Körper der meromorphen Funktionen.

Dann ist die Zuordnung

ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis  


Das Bild dieses Gruppenhomomorphismus ist die Gruppe der Hauptdivisoren, sie wird mit bezeichnet.


Definition  

Es sei eine zusammenhängende riemannsche Fläche mit dem Körper der meromorphen Funktionen. Man nennt die Restklassengruppe

die Divisorenklassegruppe von . Sie wird mit bezeichnet.