Riemannsche Fläche/Strukturgarbe/Differenzierbare Funktionen/Dolbeault/Kurzübersicht/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche.

Dann ist der Komplex

$0\longrightarrow {\mathcal {O}}_{X}\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(0,1)}$

exakt.

Beweis

Die Untergarbenbeziehung wurde schon in Fakt gezeigt. Zum Nachweis der Exaktheit können wir annehmen, dass ${}X\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge ist. Nach Fakt wird ${}d^{a}$ durch ${}f\mapsto {\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}d\,{\overline {z}}$ beschrieben. Die Holomorphie von ${}f$ ist dann nach Cauchy-Riemann äquivalent zu ${}d^{a}f=0$.

$\Box$

Die Exaktheit rechts ist schwieriger zu zeigen, sie beruht auf dem folgenden Satz der Funktionentheorie, den wir hier nicht beweisen.

Satz

Es sei ${}U=U{\left(0,r\right)}\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe (wobei der Fall ${}r=\infty$ erlaubt ist) und ${}g\in {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$.

Dann gibt es ein ${}f\in {\mathcal {E}}{\left(U\right)}$ mit

${}{\frac {\partial f}{\partial {\overline {z}}}}=g\,.$

Satz

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche.

Dann ist der Komplex

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(0,1)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

exakt.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und, da man die Exaktheit lokal testen kann, unter Verwendung von Fakt aus Fakt.

$\Box$