Riemannsche Zetafunktion/Kehrwertdivergenz/Einführung/Textabschnitt

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

Definition

Die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion ist für ${}s\in {\mathbb {C} }$ mit Realteil ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$ durch

${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}\,$

definiert.

Lemma

Es sei ${}T$ eine endliche Menge von Primzahlen und sei ${}s$ eine komplexe Zahl mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>0$. Es sei ${}M(T)$ die Menge aller natürlichen Zahlen, die sich als Produkt von Primzahlen aus ${}T$ darstellen lassen. Dann ist

${}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\sum _{n\in M(T)}{\frac {1}{n^{s}}}\,.$

Beweis

Es sei ${}T=\{p_{1},\ldots ,p_{k}\}$. Es ist ${}{|}p^{-s}{|}<1$ nach Voraussetzung über den Realteil. Unter Verwendung der geometrischen Reihe ergibt sich

${}{\begin{aligned}\prod _{p\in T}{\frac {1}{1-p^{-s}}}&={\frac {1}{1-p_{1}^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p_{k}^{-s}}}\\&=\left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{1}^{-s})^{i}\right)\cdots \left(\sum _{i=0}^{\infty }(p_{k}^{-s})^{i}\right)\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{-s})^{i_{1}}\cdots (p_{k}^{-s})^{i_{k}}\\&=\sum _{0\leq i_{1},\ldots ,i_{k}<\infty }(p_{1}^{i_{1}}\cdots p_{k}^{i_{k}})^{-s}\\&=\sum _{n\in M(T)}n^{-s}.\end{aligned}}$

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Aus dieser Aussage ergibt sich sofort ein neuer Beweis dafür, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Wenn es nämlich nur endlich viele Primzahlen gäbe, so könnte man ${}T$ als die endliche Menge aller Primzahlen ansetzen. Es wäre dann ${}M(T)=\mathbb {N}$. Für ${}s=1$ stünde dann links eine reelle Zahl, und rechts würde die Summe über alle natürlichen Kehrwerte stehen. Dies ist aber die harmonische Reihe, und diese divergiert!

Satz

Es sei ${}s$ eine komplexe Zahl mit ${}\operatorname {Re} \,{\left(s\right)}>1$. Dann gilt für die Riemannsche ${}\zeta$-Funktion die Produktdarstellung

${}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\,.$

Beweis

Dies folgt aus Fakt, wenn man für ${}T$ die Menge der ersten ${}k$ Primzahlen überhaupt ansetzt und dann ${}k$ gegen unendlich laufen lässt. Die Konvergenz der linken Seite, also die Wohldefiniertheit der ${}\zeta$-Funktion, sichert dabei auch die Konvergenz der rechten Seite.

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Korollar

Das unendliche Produkt

$\prod _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{1-p^{-1}}}$

divergiert.

Beweis

Dies folgt aus Fakt für ${}s=1$. Man hat die Gleichheit

${}\prod _{p\in T_{k}}{\frac {1}{1-p^{-1}}}=\sum _{n\in M(T_{k})}{\frac {1}{n}}\,,$

wobei ${}T_{k}$ die ersten ${}k$ Primzahlen umfasse. Für ${}k\rightarrow \infty$ ergibt sich rechts die harmonische Reihe, die bekanntlich divergiert. Also divergiert auch das Produkt links.

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Wir können nun die oben formulierte Frage beantworten.

Satz

Die Reihe der Kehrwerte der Primzahlen, also

$\sum _{p\in {\mathbb {P} }}{\frac {1}{p}}$

divergiert.

Beweis

Das Produkt ${}\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}$ divergiert für ${}k\rightarrow \infty$ aufgrund von Fakt und ist insbesondere unbeschränkt. Daher ist auch der natürliche Logarithmus davon unbeschränkt. Dieser ist

${}\ln {\left(\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\right)}=\sum _{i=1}^{k}\ln {\left({\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\right)}=-\sum _{i=1}^{k}\ln {\left(1-p_{i}^{-1}\right)}\,.$

Die Potenzreihenentwicklung des natürlichen Logarithmus ist

${}\ln(1-x)=-\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {x^{j}}{j}}\,$

für ${}\vert {x}\vert <1$. Angewendet auf die vorstehende Situation ergibt das

${}\sum _{i=1}^{k}{\left(\sum _{j=1}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}+\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)\,.$

Für die hinteren Summanden hat man die Abschätzungen

${}\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\leq \sum _{j=2}^{\infty }{\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{j}={\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{2}{\left(\sum _{j=0}^{\infty }{\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{j}\right)}={\left({\frac {1}{p_{i}}}\right)}^{2}{\frac {1}{1-p_{i}^{-1}}}\leq {\frac {2}{p_{i}^{2}}}\,,$

wobei hinten wieder die geometrische Reihe benutzt wurde. Damit ist insgesamt

${}\sum _{i=1}^{k}\left(\sum _{j=2}^{\infty }{\frac {(p_{i}^{-1})^{j}}{j}}\right)\leq \sum _{i=1}^{k}{\frac {2}{p_{i}^{2}}}\leq 2\sum _{n\in \mathbb {N} _{+}}{\frac {1}{n^{2}}}\,.$

Da die Summe der reziproken Quadrate konvergiert, ist diese Gesamtsumme beschränkt. Daher ist die Summe ${}\sum _{i=1}^{k}{\frac {1}{p_{i}}}$ unbeschränkt, was die Behauptung ist.

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