SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass ${}G\subseteq \operatorname {SU} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}$ ist. Es sei

\pi \colon \operatorname {SU} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}\longrightarrow \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}

der surjektive Gruppenhomomorphismus aus Fakt. Es sei ${}H=\pi (G)$ die Bildgruppe von ${}G$ unter dieser Abbildung, für die es aufgrund von Fakt starke Einschränkungen gibt. Wenn ${}{\#\left(G\right)}$ ungerade ist, so enthält ${}G$ kein Element der Ordnung ${}2$ . Also ist ${}G\cap {\left(\operatorname {kern} \pi \right)}$ trivial und somit ist ${}G\rightarrow H$ ein Isomorphismus. Aufgrund der Klassifikation für endliche Symmetriegruppen muss ${}G$ zyklisch sein. Sei also ${}{\#\left(G\right)}$ gerade, sagen wir ${}{\#\left(G\right)}=2^{m}u$ mit ${}u$ ungerade. Nach dem Satz von Sylow besitzt ${}G$ eine Untergruppe mit ${}2^{m}$ Elementen und damit insbesondere auch ein Element der Ordnung ${}2$ . Wegen Fakt gibt es in ${}\operatorname {SU} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}$ nur das Element ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$ der Ordnung ${}2$ . Also ist ${}{\begin{pmatrix}-1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\in G$ und somit ist ${}\operatorname {kern} \pi \subseteq G$ . Damit ist insbesondere

{}G=\pi ^{-1}(\pi (G))\,,

d.h. ${}G$ ist das Urbild zu einer endlichen Untergruppe ${}H\subseteq \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ . ${}H$ ist also eine der Untergruppen aus der Liste von Fakt. Zwei isomorphe Gruppen ${}H_{1},H_{2}\subseteq \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ sind sogar konjugiert. Wenn ${}\alpha \in \operatorname {SO} _{3}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ den inneren Automorphismus stiftet und ${}{\tilde {\alpha }}\in \operatorname {SU} _{2}\!{\left(\mathbb {C} \right)}$ ein Urbild ist, so vermittelt ${}{\tilde {\alpha }}$ einen Isomorphismus der Urbildgruppen ${}\pi ^{-1}(H_{1})$ und ${}\pi ^{-1}(H_{2})$ . Der Isomorphietyp von ${}G$ ist also durch ${}\pi (G)$ festgelegt. Wenn ${}\pi (G)=D_{n},T,O,I$ ist, so muss ${}G=BD_{n},BT,BO,BI$ sein, da der Isomorphietyp festgelegt ist und die in den definierenden Beispielen Beispiel, Beispiel, Beispiel und Beispiel beschriebenen Gruppen modulo dem Element der Ordnung ${}2$ die entsprechenden reellen Symmetriegruppen ergeben.