Beweis
Nach Fakt
können wir davon ausgehen, dass
ist. Es sei
-
der
surjektive Gruppenhomomorphismus
aus
Fakt.
Es sei
die
Bildgruppe
von
unter dieser Abbildung, für die es
aufgrund von Fakt
starke Einschränkungen gibt.
Wenn
ungerade ist, so enthält
kein Element der
Ordnung
. Also ist
trivial und somit ist
ein
Isomorphismus.
Aufgrund der Klassifikation für endliche Symmetriegruppen muss
zyklisch sein. Es sei also
gerade, sagen wir
mit
ungerade. Nach dem Satz von Sylow
besitzt
eine Untergruppe mit
Elementen und damit insbesondere auch ein Element der Ordnung
.
Wegen Fakt
gibt es in
nur das Element
der Ordnung
. Also ist
und somit ist
.
Damit ist insbesondere
-

d.h.
ist das
Urbild
zu einer endlichen Untergruppe
.
ist also eine der Untergruppen aus der Liste von
Fakt.
Zwei isomorphe Gruppen
sind sogar
konjugiert.
Wenn
den inneren Automorphismus stiftet und
ein Urbild ist, so vermittelt
einen Isomorphismus der Urbildgruppen
und
.
Der Isomorphietyp von
ist also durch
festgelegt. Wenn
ist, so muss
sein, da der Isomorphietyp festgelegt ist und die in den definierenden Beispielen
Beispiel,
Beispiel,
Beispiel
und
Beispiel
beschriebenen Gruppen modulo dem Element der Ordnung
die entsprechenden reellen Symmetriegruppen ergeben.