SL2C/Endliche Untergruppen/Klassifikationsatz/Fakt/Beweis

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Beweis

Nach Fakt können wir davon ausgehen, dass ist. Es sei

der surjektive Gruppenhomomorphismus aus Fakt. Es sei die Bildgruppe von unter dieser Abbildung, für die es aufgrund von Fakt starke Einschränkungen gibt. Wenn ungerade ist, so enthält kein Element der Ordnung . Also ist trivial und somit ist ein Isomorphismus. Aufgrund der Klassifikation für endliche Symmetriegruppen muss zyklisch sein. Sei also gerade, sagen wir mit ungerade. Nach dem Satz von Sylow besitzt eine Untergruppe mit Elementen und damit insbesondere auch ein Element der Ordnung . Wegen Fakt gibt es in nur das Element der Ordnung . Also ist und somit ist . Damit ist insbesondere

d.h. ist das Urbild zu einer endlichen Untergruppe . ist also eine der Untergruppen aus der Liste von Fakt. Zwei isomorphe Gruppen sind sogar konjugiert. Wenn den inneren Automorphismus stiftet und ein Urbild ist, so vermittelt einen Isomorphismus der Urbildgruppen und . Der Isomorphietyp von ist also durch festgelegt. Wenn ist, so muss sein, da der Isomorphietyp festgelegt ist und die in den definierenden Beispielen Beispiel, Beispiel, Beispiel und Beispiel beschriebenen Gruppen modulo dem Element der Ordnung die entsprechenden reellen Symmetriegruppen ergeben.

Zur bewiesenen Aussage