Satz über die Umkehrabbildung/Implizite Abbildung/C/Zusammenfassung/Textabschnitt

Zu den wichtigsten Sätzen aus der Analysis 2 gehören der Satz über die Umkehrabbildung und der Satz über implizite Abbildungen, an deren komplexe Versionen wir erinnern.

Satz

Es seien ${}V_{1}$ und ${}V_{2}$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {C} }$ -Vektorräume, sei ${}G\subseteq V_{1}$ offen und es sei

\varphi \colon G\longrightarrow V_{2}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ ein Punkt derart, dass das totale Differential

\left(D\varphi \right)_{P}

bijektiv ist.

Dann gibt es eine offene Menge ${}U_{1}\subseteq G$ und eine offene Menge ${}U_{2}\subseteq V_{2}$ mit ${}P\in U_{1}$ und mit ${}\varphi (P)\in U_{2}$ derart, dass ${}\varphi$ eine Bijektion

$\varphi {|}_{U_{1}}\colon U_{1}\longrightarrow U_{2}$

induziert, und dass die Umkehrabbildung

$(\varphi {|}_{U_{1}})^{-1}\colon U_{2}\longrightarrow U_{1}$

ebenfalls stetig differenzierbar ist.

Wir nennen eine bijektive holomorphe Abbildung zwischen offenen Mengen ${}U,V\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ biholomorph, der Satz behauptet also, dass eine komplex-differenzierbare Abbildung, wenn das totale Differential in einem Punkt bijektiv ist, dort auf einer offenen Umgebung bereits eine biholomorphe Abbildung induziert. Schon die eindimensionale Situation von diesem Satz ist eine starke Aussage. Wir formulieren sie direkt für holomorphe Funktionen.

Korollar

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}f'(P)\neq 0$ .

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ und eine offene Umgebung ${}f(P)\in W\subseteq {\mathbb {C} }$ derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}V$ biholomorph zu ${}W$ ist.

Beweis

Dies ist der eindimensionale Spezialfall von Fakt.

\Box

Satz

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und sei

\varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }^{m}

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}P\in G$ und es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(\varphi (P))$ die Faser durch ${}P$ . Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv.

Dann gibt es eine offene Menge ${}P\in W$ , ${}W\subseteq G$ , eine offene Menge ${}V\subseteq {\mathbb {C} }^{n-m}$ und eine stetig differenzierbare Abbildung

$\psi \colon V\longrightarrow W$

derart, dass ${}\psi (V)\subseteq Z\cap W$ ist und ${}\psi$ eine Bijektion

$\psi \colon V\longrightarrow Z\cap W$

induziert.

Die Abbildung ${}\psi$ ist in jedem Punkt ${}Q\in V$ regulär und für das totale Differential von ${}\psi$ gilt

{}\left(D\varphi \right)_{\psi (Q)}\circ \left(D\psi \right)_{Q}=0\,.

Der Satz behauptet insbesondere, dass die Faser lokal in Bijektion zu einer offenen Menge des ${}{\mathbb {C} }^{n-m}$ steht. Man kann aber im Moment noch nicht sagen, dass die Faser lokal biholomorph zum ${}{\mathbb {C} }^{n-m}$ ist, da wir noch keine holomorphe Struktur auf der Faser erklärt haben. Dies ist eben eine der Aufgaben der komplexen Analysis, wozu die riemannschen Flächen gehören. Für die Theorie der riemannschen Flächen ist bereits der Fall ${}n=2$ und ${}m=1$ entscheidend. Die Stärke der Aussage zeigt sich in der folgenden Anwendung über die Existenz von Wurzeln aus Funktionen.

Satz

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Menge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion mit ${}f(P)\neq 0$ . Es sei ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ .

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ und eine holomorphe Funktion ${}h\colon V\rightarrow {\mathbb {C} }$ mit ${}f=h^{k}$ .

Beweis

Wir betrachten die holomorphe Funktion

\varphi \colon U\times {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(z,w)\longmapsto f(z)-w^{k},

in zwei Variablen, es sei ${}Q\in {\mathbb {C} }$ ein Punkt mit ${}Q^{k}=f(P)$ . Es ist ${}\varphi (P,Q)=0$ . Die Abbildung ${}\varphi$ besitzt die partiellen Ableitungen ${}f'(z)$ und ${}kw^{k-1}$ . Im Punkt ${}(P,Q)$ ist definitiv die zweite partielle Ableitung ${}\neq 0$ , daher ist das totale Differential in diesem Punkt surjektiv und man kann (eine explizite Version von) Fakt anwenden. D.h. es gibt eine auf einer offenen Menge ${}V\subseteq {\mathbb {C} }$ definierte holomorphe Funktion