Skalarprodukt/Winkel und Abstand/Einführung/Textabschnitt

Mit einem Skalarprodukt kann man die Länge eines Vektors und damit auch den Abstand zwischen zwei Vektoren erklären.

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann nennt man zu einem Vektor ${}v\in V$ die reelle Zahl

${}\Vert {v}\Vert ={\sqrt {\left\langle v,v\right\rangle }}\,$

die Norm von ${}v$.

Satz

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt die Cauchy-Schwarzsche Abschätzung, nämlich

${}\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \leq \Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \,$

für alle ${}v,w\in V$.

Beweis

Bei ${}w=0$ ist die Aussage richtig. Es sei also ${}w\neq 0$ und damit auch ${}\Vert {w}\Vert \neq 0$. Damit hat man die Abschätzungen

${}{\begin{aligned}0&\leq \left\langle v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w,v-{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle w,v\right\rangle -{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{4}}}\left\langle w,w\right\rangle \\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {w}\Vert ^{2}}}{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}-{\frac {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\left\langle v,w\right\rangle +{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\left\langle v,w\right\rangle {\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}\\&=\left\langle v,v\right\rangle -{\frac {\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert ^{2}}{\Vert {w}\Vert ^{2}}}.\end{aligned}}$

Multiplikation mit ${}\Vert {w}\Vert ^{2}$ und Wurzelziehen ergibt das Resultat.

$\Box$

Bemerkung  

Für von ${}0$ verschiedene Vektoren ${}v$ und ${}w$ in einem euklidischen Vektorraum ${}V$ folgt aus der der Ungleichung von Cauchy-Schwarz, dass

${}-1\leq {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\leq 1\,$

ist. Damit kann man mit Hilfe der trigonometrischen Funktion Kosinus (als bijektive Abbildung ${}[0,\pi ]\rightarrow [-1,1]$) bzw. der Umkehrfunktion den Winkel zwischen den beiden Vektoren definieren, nämlich durch

${}\angle (v,w):=\arccos {\frac {\left\langle v,w\right\rangle }{\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert }}\,.$

Der Winkel ist also eine reelle Zahl zwischen ${}0$ und ${}\pi$. Die obige Gleichung kann man auch als

${}\left\langle v,w\right\rangle =\Vert {v}\Vert \cdot \Vert {w}\Vert \cdot \cos \left(\angle (v,w)\right)\,$

schreiben, was die Möglichkeit eröffnet, das Skalarprodukt in dieser Weise zu definieren. Allerdings muss man dann für den Winkel eine unabhängige Definition finden. Dieser Zugang ist etwas intuitiver, hat aber rechnerisch und beweistechnisch viele Nachteile.

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann gelten für die zugehörige Norm folgende Eigenschaften.

1. Es ist ${}\Vert {v}\Vert \geq 0$.
2. Es ist ${}\Vert {v}\Vert =0$ genau dann, wenn ${}v=0$ ist.
3. Für ${}\lambda \in {\mathbb {K} }$ und ${}v\in V$ gilt

   ${}\Vert {\lambda v}\Vert =\vert {\lambda }\vert \cdot \Vert {v}\Vert \,.$

4. Für ${}v,w\in V$ gilt

   ${}\Vert {v+w}\Vert \leq \Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \,.$

Beweis

Die ersten beiden Eigenschaften folgen direkt aus der Definition des Skalarprodukts.
Die Multiplikativität folgt aus

${}\Vert {\lambda v}\Vert ^{2}=\left\langle \lambda v,\lambda v\right\rangle =\lambda \left\langle v,\lambda v\right\rangle =\lambda {\overline {\lambda }}\left\langle v,v\right\rangle =\vert {\lambda }\vert ^{2}\Vert {v}\Vert ^{2}\,.$

Zum Beweis der Dreiecksungleichung schreiben wir

${}{\begin{aligned}\Vert {v+w}\Vert ^{2}&=\left\langle v+w,v+w\right\rangle \\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+\left\langle v,w\right\rangle +{\overline {\left\langle v,w\right\rangle }}\\&=\Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\operatorname {Re} \,{\left(\left\langle v,w\right\rangle \right)}\\&\leq \Vert {v}\Vert ^{2}+\Vert {w}\Vert ^{2}+2\vert {\left\langle v,w\right\rangle }\vert \end{aligned}}$

Aufgrund von Fakt ist dies ${}\leq {\left(\Vert {v}\Vert +\Vert {w}\Vert \right)}^{2}$. Diese Abschätzung überträgt sich auf die Quadratwurzeln.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Polarisationsformel.

Lemma

Es sei ${}V$ ein ${}{\mathbb {K} }$-Vektorraum mit Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$ und der zugehörigen Norm ${}\Vert {-}\Vert$.

Dann gilt bei ${}{\mathbb {K} }=\mathbb {R}$ die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v}\Vert ^{2}-\Vert {w}\Vert ^{2}\right)}\,$

und bei ${}{\mathbb {K} }={\mathbb {C} }$ die Beziehung

$\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{4}}{\left(\Vert {v+w}\Vert ^{2}-\Vert {v-w}\Vert ^{2}+{\mathrm {i} }\Vert {v+{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}-{\mathrm {i} }\Vert {v-{\mathrm {i} }w}\Vert ^{2}\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Zu Vektoren ${}v,w\in V$ nennt man

${}d{\left(v,w\right)}:=\Vert {v-w}\Vert \,$

den Abstand zwischen ${}v$ und ${}w$.

Lemma

Es sei ${}V$ ein Vektorraum über ${}{\mathbb {K} }$ mit einem Skalarprodukt ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Dann besitzt der zugehörige Abstand die folgenden Eigenschaften (dabei sind ${}u,v,w\in V$).

1. Es ist ${}d(v,w)\geq 0$.
2. Es ist ${}d(v,w)=0$ genau dann, wenn ${}v=w$.
3. Es ist ${}d(v,w)=d(w,v)$.
4. Es ist

   ${}d(u,w)\leq d(u,v)+d(v,w)\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$