Stammfunktion/Beziehung zu Hauptsatz/Textabschnitt

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Definition  

Sei offen und sei

eine Funktion. Eine Funktion

heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und gilt für alle .

Den Hauptsatz der Infinitesimalrechnung kann man zusammen mit Fakt als einen Existenzsatz für Stammfunktionen interpretieren.



Korollar  

Sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion.

Dann besitzt eine Stammfunktion.

Beweis  

Es sei ein beliebiger Punkt. Aufgrund von Fakt existiert das Riemann-Integral

und aufgrund des Hauptsatzes ist , d.h. ist eine Stammfunktion von .




Lemma  

Sei ein reelles Intervall und sei

eine Funktion. Es seien und zwei Stammfunktionen von .

Dann ist eine konstante Funktion.

Beweis  

Es ist

Daher ist nach Fakt die Differenz konstant.


Die folgende Aussage ist ebenfalls eine Version des Hauptsatzes, der darin ausgedrückte Zusammenhang heißt auch Newton-Leibniz-Formel.



Korollar  

Sei ein reelles Intervall und sei

eine stetige Funktion, für die eine Stammfunktion sei.

Dann gilt für die Gleichheit

Beweis  

Aufgrund von Fakt existiert das Integral. Mit der Integralfunktion

gilt die Beziehung

Aufgrund von Fakt ist differenzierbar mit

d.h. ist eine Stammfunktion von . Wegen Fakt ist . Daher ist


Da eine Stammfunktion nur bis auf eine additive Konstante bestimmt ist, schreibt man manchmal

und nennt eine Integrationskonstante. In gewissen Situationen, insbesondere im Zusammenhang mit Differentialgleichungen, wird diese Konstante durch zusätzliche Bedingungen festgelegt.