Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - stetig

Einführung

Auf $\mathbb {K}$-Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale $\varphi$ auf Funktionenräumen auffassen.

$\varphi (f):=\int _{a}^{b}f(x)\,dx$

Der Vektorraum der stetigen Funktion ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ mit der Norm

$\|f\|:=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx$

ist allerdings bzgl. der Norm nicht vollständig. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu $L_{p}(\mathbb {K} )$-Räumen mit $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$.

Aufgaben für Studierende - normierte Räume

• Zeigen Sie mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen auf nomierten Räumen, dass die obige Abbildung $\varphi$ mit der oben definierten Norm $\|\cdot \|$ stetig ist.
• Definiert man die Maximums-/Supremumsnorm $\|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|$, so wird ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ ebenfalls zu einem topologischen Vektorraum. Zeigen, dass die obige Abbildung $\varphi$ ebenfalls mit der Maximumsnorm $\|\cdot \|_{\infty }$ stetig ist.

Siehe auch

• Stetigkeitssatz für normierte Räume
• Stetigkeitssatz für topologische Vektorräume
• bilineare Abbildungen
• Netze (Mathematik)
• Hahn-Banach - normierte Räume
• Kurs:Funktionalanalysis
• Kontraposition
• Konvergenz in normierten Räumen
• Normenäquivalenzsatz
• Stetigkeit in topologischen Räumen
• Submultiplikativität
• Kurs:Maßtheorie auf topologischen Räumen