Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Beispiele - stetig

Einführung

Auf $\mathbb {K}$ -Vektorräumen kann man Maße als stetige lineare Funktionale $\varphi$ auf Funktionenräumen auffassen.

\varphi (f):=\int _{a}^{b}f(x)\,dx

Der Vektorraum der stetigen Funktion ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ mit der Norm

\|f\|:=\int _{a}^{b}|f(x)|\,dx

ist allerdings bzgl. der Norm nicht vollständig. Die weitere maßtheoretische Betrachtung führt dann zu $L_{p}(\mathbb {K} )$ -Räumen mit $\mathbb {K} =\mathbb {R} ,\mathbb {C}$ .

Aufgaben für Studierende - normierte Räume

Zeigen Sie mit dem Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen auf nomierten Räumen, dass die obige Abbildung $\varphi$ mit der oben definierten Norm $\|\cdot \|$ stetig ist.
Definiert man die Maximums-/Supremumsnorm $\|f\|_{\infty }:=\sup _{x\in [a,b]}|f(x)|$ , so wird ${\mathcal {C}}([a,b],\mathbb {K} )$ ebenfalls zu einem topologischen Vektorraum. Zeigen, dass die obige Abbildung $\varphi$ ebenfalls mit der Maximumsnorm $\|\cdot \|_{\infty }$ stetig ist.

Konsequenzen der Stetigkeit von Maßen

Bei Maschinellen Lernen (ML) verändert sich das Verhalten einer Maschine $M_{t}:X\to Y$ über die Zeit $t\in T$ (z.B. $t\in \mathbb {N}$ ). Man erhält also z.B. eine Funktionenfolge $(M_{t})_{t\in \mathbb {N} }$ . Konvergiert nun $M_{t}{\stackrel {t\to \infty }{\longrightarrow }}M_{o}$ , so liefert die Stetigkeit eines Maßes $\mu :V\to \mathbb {K}$ ( $\mathbb {K}$ Körper), dass auf der Messwert im Grenzwert bzw. der Grenzfunktion mit dem Grenzwert der iterativen Messung der Funktionenfolge $(\mu (M_{t}))_{t\in \mathbb {N} }$ übereinstimmt.

\displaystyle \lim _{M_{t}\to M_{o}}\mu (M_{t})=\mu (M_{o})

Siehe auch