Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/Normierte Räume

Stetigkeitssatz für lineare Abbildung - normierte Räumen

Seien $(X,\|\cdot \|_{X})$ und $(Y,\|\cdot \|_{Y})$ normierte Räume über dem Körper $\mathbb {K}$ und

T:X\rightarrow Y

eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) T ist stetig in jedem Punkt $x\in X$
(2) T ist stetig im Nullvektor $0_{X}\in X$
(3) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$
(4) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}$ für alle $x\in X$ ,

Alternative Formulierung von (3)

(3) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$
(3a) Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}=1$
(3b) Es existiert ein $M>0$ mit $\sup _{\|x\|_{X}=1}\|T(x)\|_{Y}\leq M$
(3c) Die Operatornorm $\|T\|_{\mathcal {L}}:=\sup _{\|x\|_{X}=1}\|T(x)\|_{Y}<\infty$

Beweis

Ringschluss von (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1)

Folgerung (1) nach (2)

klar, da der Nullvektor $0_{X}\in X$

Folgerung (2) nach (3)

Wir zeigen die Kontraposition.

Annahme: Es exisitiert eine Folge $({x_{n}})_{n\in \mathbb {N} }$ aus der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{X}}(0_{X})}}$ , die eine unbeschränkte Bildfolge $\left(T({x_{n}})\right)_{n\in \mathbb {N} }$ mit $\lim _{n\to \infty }\left\|T({x_{n}})\right\|_{Y}=+\infty$ besitzt.
Wir folgern dann, dass $T$ in dem Nullvektor $0_{X}\in X$ nicht stetig ist.

Folgerung (2) nach (3) - Teil 1

Annahme, dass die Menge $\{\|T(x)\|_{Y}\ |\ x\in X\wedge \|x\|_{X}\leq 1\}$ unbeschränkt ist. D.h. es gibt eine Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }$ mit dem Nullvektor $\mathbb {0} _{X}\in X$ mit

\|T(x_{n})\|_{Y}\geq n\quad {\mbox{ und }}0<\|x_{n}\|_{X}\leq 1

.

Mit dieser unbeschränkten Bildfolge in $Y$ erzeugen wir nun ein Nullfolge in $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }$ in $X$ , dessen Bildfolgenglieder $T({\widehat {x_{n}}})$ auf dem topologischen Rand der Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{Y}}(0_{Y})}}$ liegen.

Folgerung (2) nach (3) - Teil 2

Wir definierten die Folgenglieder ${\widehat {x_{n}}}$ über die $x_{n}$ aus Teil 1 wie folgt.

({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }=\left({\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\})^{\mathbb {N} }

Damit ist die Folge $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }$ eine Nullfolge in $X$ , denn es gilt:

\left\|{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right\|_{X}={\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \left\|x_{n}\right\|_{X}\leq {\frac {1}{n}}\cdot \underbrace {\|x_{n}\|_{X}} _{\leq 1}\leq {\frac {1}{n}}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0

Folgerung (2) nach (3) - Teil 3

Auf der anderen Seite liegen die Folgenglieder der Bildfolge $T({\widehat {x_{n}}})$ auf dem Rand der Einheitskugel in $Y$ und kann daher keine Nullfolge in $Y$ sein, denn es gilt:

{\begin{array}{rcl}\|T({\widehat {x_{n}}})\|_{Y}&=&\left\|T\left({\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot x_{n}\right)\right\|_{Y}{\stackrel {T\,lin\,\,}{=}}\left\|{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot T(x_{n})\right\|_{Y}\\&{\stackrel {Norm\,hom}{=}}&{\frac {1}{\|T(x_{n})\|_{Y}}}\cdot \|T(x_{n})\|_{Y}=1\\\end{array}}

Folgerung (2) nach (3) - Teil 4

Wenn also $({\widehat {x_{n}}})_{n\in \mathbb {N} }\in (X\setminus \{\mathbb {0} _{X}\}^{\mathbb {N} }$ gegen den Nullvektor $\mathbb {0} _{X}$ aus $X$ muss bei einer im Nullvektor $\mathbb {0} _{X}\in X$ linearen Abbildung $T$ auch die Bildfolge $(T({\widehat {x_{n}}}))_{n\in \mathbb {N} }$ gegen den Nullvektor $\mathbb {0} _{Y}$ konvergieren. Da aber die Bildfolgenglieder $T({\widehat {x_{n}}})$ auf dem Rand der Einheitskugel in $Y$ liegen, kann die Bildfolge $\left(T({\widehat {x_{n}}})\right)_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }$ nicht gegen den Nullvektor $\mathbb {0} _{Y}\in Y$ konvergieren. Damit ist die lineare Abbildung $T$ in $0_{X}$ nicht stetig.

Folgerung (3) nach (4) - Fallunterscheidung

Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{X}\leq 1$ . Man wählt für das gesucht $M>0$ der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene $M>0$ und betrachtet die Fallunterscheidung für $x=0_{X}$ und $x\not =0_{X}$ :

Folgerung (3) nach (4) - Fall 1

In Fall 1 weisen wir nach, dass due Ungleichung (4) für den Nullvektor $0_{X}\in X$ efüllt ist. Es gilt:

\|T(0_{X})\|_{Y}=\|0_{Y}\|_{Y}=0=\|0_{X}\|_{X}=M\cdot \|0_{X}\|_{X}

Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.1

In Fall 2 sei nun $x\not =0_{X}$ und $x\in X$ beliebig gewählt. Dann liegt der Vektor ${\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}$ auf dem topologischen Rand der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{\|\cdot \|_{X}}(0_{X})}}$ in $X$ , denn es gilt:

\|{\widehat {x}}\|_{X}=\left\|{\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right\|_{X}={\frac {\|x\|_{X}}{\|x\|_{X}}}=1

Folgerung (3) nach (4) - Fall 2.2

Da nun $\|{\widehat {x}}\|_{X}\leq 1$ erfüllt ist, kann die Aussage (3) auf ${\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{X}}}$ angewendet werden und man erhält:

{\begin{array}{rcl}M&\geq &\|T({\widehat {x}})\|_{Y}=\left\|T\left({\frac {x}{\|x\|_{X}}}\right)\right\|_{Y}\\&{\stackrel {T\,lin}{=}}&\left\|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot T(x)\right\|_{Y}\\&{\stackrel {Norm\,hom.}{=}}&\left|{\frac {1}{\|x\|_{X}}}\right|\cdot \|T(x)\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}\end{array}}

Insgesamt erhält man (3): $M\geq \|T({\widehat {x}})\|_{Y}={\frac {1}{\|x\|_{X}}}\cdot \|T(x)\|_{Y}$ bzw. $\|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}$

Folgerung (4) nach (1) - Teil 1

Nach Voraussetzung gelte (4), d.h. es existiert ein $M>0$ mit $\|T(x)\|_{Y}\leq M\cdot \|x\|_{X}$ für alle $x\in X$ .
Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung $T$ in einem beliebigen Punkt $x_{o}\in X$ stetig ist.d

D.h. wir zeigen, dass aus $\lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{X}}x_{n}=x_{o}$ auch die Konvergenz der Bildfolge $\lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{Y}}T(x_{n})=T(x_{o})$ gegen $T(x_{o})$ erfüllt ist. Über dem Limes steht die Norm, bzgl. der die Konvergenz formuliert wird. Dies ist in unendlichdimensionalen Vektorräumen notwendig, da dort Normen nicht notwendigerweise äquivalent sind.

Folgerung (4) nach (1) - Teil 1

Für den Nachweis der Stetigkeit von $T$ in jedem Punkt aus $X$ sei nun $x_{0}\in X$ beliebig gewählt. Ferner sei ein Folge $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }$ in $X$ mit $\lim _{n\to \infty }^{\|\cdot \|_{X}}x_{n}=x_{o}$ gegeben, die also gegen $x_{0}\in X$ bzgl. der Norm $\|\cdot \|_{X}$ konvergiert. Für den Nachweis der Konvergenz der Bildfolge $(T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }$ gegen $T(x_{0})\in Y$ verwenden man die Linearität und die Einschachtelung der Bildfolge durch Verwendung der Ungleichung (4).

Folgerung (4) nach (1) - Teil 2

Für den Nachweis der Konvergenz der Folge $(T(x_{n}))_{n\in \mathbb {N} }\in Y^{\mathbb {N} }$ gegen $T(x_{0})\in Y$ wird Abstand zwischen Folgengliedern $T(x_{n})$ und $T(x_{o})$ wie folgt abgeschätzt:

{\begin{array}{rcl}0&\leq &\|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\stackrel {T\,lin.}{=}}\|T(x_{n}-x_{0})\|_{Y}\\&{\stackrel {(4)}{\leq }}&M\cdot \|x_{n}-x_{0}\|_{X}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0\\\end{array}}

,

da $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in X^{\mathbb {N} }$ in $X$ gegen $x_{0}\in X$ konvergiert und mit $\|x_{n}-x_{0}\|_{X}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0$ durch Abschätzung auch $\|T(x_{n})-T(x_{0})\|_{Y}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle n\to \infty }}0$ konvergiert.