Stetigkeitssatz für lineare Abbildungen/topologische Vektorräume

Stetigkeitssatz für lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen (SLAT)

Seien $(X,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ und $(Y,\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}})$ topologische Vektorräume mit den Systemen von topologieerzeugenden Gaugefunktionalen über dem Körper $\mathbb {K}$ und

T:X\rightarrow Y

eine lineare Abbildungen, dann sind folgende Aussagen äquivalent:

(1) T ist stetig in jedem Punkt $x\in X$
(2) T ist stetig im Nullvektor $0_{X}\in X$
(3) $\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}},\,M_{\alpha }>0}\forall _{x\in X}\,:\,\|x\|_{\alpha }\leq 1\Longrightarrow \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M_{\alpha }$
(4) $\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}},\,M_{\alpha }>0}\forall _{x\in X}\,:\,\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M_{\alpha }\cdot \|x\|_{\alpha }$ ,

Beweis SLAT

Der Stetigkeitssatz für Lineare Abbildung auf topologischen Vektorräumen (SLAT) wird als Ringschluss von (1) $\Rightarrow$ (2) $\Rightarrow$ (3) $\Rightarrow$ (4) $\Rightarrow$ (1) bewiesen.

Folgerung SLAT (1) nach (2)

klar, da der Nullvektor $0_{X}\in X$

Folgerung SLAT (2) nach (3)

Nach dem Epsilon-Delta-Kriterium für topologische Räume erhält man für die Stetigkeit in $x_{o}=0_{X}\in X$ folgende äquivalente Bedingung.

\forall _{U_{\varepsilon }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{Y}}(T(x_{o}))}\exists _{U_{\delta }\in {\mathfrak {U}}_{{\mathcal {T}}_{X}}(x_{o})}\forall _{x\in X}\,:\,x\in U_{\delta }\Longrightarrow T(x)\in U_{\varepsilon }

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 1

Da $(X,\|\cdot \|_{\mathcal {A}})$ und $(Y,\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}})$ topologische Räume sind und die Systemen von Gaugefunktionalen die Topologie erzeugen, gibt es für jede Nullumgebung $U_{\delta }$ ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$ ein $\delta _{o}>0$ und für jede Nullumgebung $U_{\varepsilon }$ ein ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ und ein $\varepsilon _{o}>0$ mit:

B_{\delta _{o}}^{\alpha }(0_{X})\subset U_{\delta }\ \wedge \ B_{\varepsilon _{o}}^{\widetilde {\alpha }}(0_{Y})\subset U_{\varepsilon }

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 2

Da es nach dem $\varepsilon -\delta$ -Kriterium zu jedem $U_{\varepsilon }$ ein $U_{\delta }$ existiert und kann man dies insbesondere für die Nullumgebung $U_{\varepsilon }:=B_{\varepsilon _{o}}^{\widetilde {\alpha }}(0_{Y})$ von $0_{Y}$ anwenden, wählt dazu das $U_{\delta }$ . Damit gilt für alle $x\in U_{\delta }$ .

T(x)\in B_{\varepsilon _{o}}^{\widetilde {\alpha }}(0_{Y})=U_{\varepsilon }

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 3

Durch Anwendung auf die Gaugefunktionale erhält man die Abschätzungen:

$\|x\|_{\alpha }<\delta _{o}$ folgt $x\in B_{\delta _{o}}^{\alpha }(0_{X})\subset U_{\delta }$ .
$\|y\|_{\widetilde {\alpha }}<\varepsilon _{o}$ folgt $y\in B_{\varepsilon _{o}}^{\widetilde {\alpha }}(0_{Y})=U_{\varepsilon }$ .

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 4

Mit der ersten Abschätzung und der Homogenität von Gaugefunktionalen folgt aus $\|x\|_{\alpha }<1$ , dass $\|\delta _{o}\cdot x\|_{\alpha }<\delta _{o}$ gilt. Das oben genannte $\varepsilon$ - $\delta$ -Kriterium für topologische Räume liefert mit der der Bedingung im $x\in U_{\delta }\Longrightarrow T(x)\in U_{\varepsilon }$ , dass dann $T(\delta _{o}\cdot x)\in U_{\varepsilon }$ erfüllt ist.

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 5

Für Bedingung (3) benötigt man eine Abschätzung für $\|x\|_{\alpha }\leq 1$ und nicht nur für $\|x\|_{\alpha }<1$ . Für alle $\|x\|_{\alpha }\leq 1$ gilt $\left\|{\frac {\delta _{o}}{2}}\cdot x\right\|_{\alpha }\leq {\frac {\delta _{o}}{2}}<\delta _{0}$ . Damit erhält man für für $\|x\|_{\alpha }\leq 1$ die Bedingungen ${\frac {\delta _{o}}{2}}\cdot x\in B_{\delta _{o}}^{\alpha }(0_{X})$ und $T\left({\frac {\delta _{o}}{2}}\cdot x\right)\in U_{\varepsilon }$ .

Folgerung SLAT (2) nach (3) - Schritt 6

Mit $y:=T\left({\frac {\delta _{o}}{2}}\cdot x\right)\in U_{\varepsilon }$ und $\|y\|_{\widetilde {\alpha }}<\varepsilon _{o}$ für alle $y\in U_{\varepsilon }$ erhält man $\|T(\delta \cdot x)\|_{\widetilde {\alpha }}<\varepsilon _{o}$ . Die Behauptung folgt dann mit der Homogenität von Gaugefunktionalen für alle $\|x\|_{\alpha }\leq 1$ :

\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}={\frac {2}{\delta _{o}}}\cdot \underbrace {{\bigg \|}T{\bigg (}{\frac {\delta _{o}}{2}}\cdot x{\bigg )}{\bigg \|}_{\widetilde {\alpha }}} _{<\varepsilon _{o}}<\underbrace {{\frac {2}{\delta _{o}}}\cdot \varepsilon _{o}} _{:=M_{\alpha }}=M_{\alpha }

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fallunterscheidung

Nach Voraussetzung gilt (3), d.h.: Zu jedem ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ existiert ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$ $M_{\alpha }>0$ mit $\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M_{\alpha }$ für alle $x\in X$ mit $\|x\|_{\alpha }\leq 1$ . Man wählt für das gesucht $M_{\alpha }>0$ der Aussage (4) das durch Aussage (3) gegebene $M>0$ und betrachtet die Fallunterscheidung für $\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}=0$ und $\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\not =0$ :

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 1

In Fall 1 weisen wir die Ungleichung (4) für den Fall $\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}=0$ nach. Es gilt:

\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}=0\leq \underbrace {M_{\alpha }} _{>0}\cdot \underbrace {\|x\|_{\widetilde {\alpha }}} _{\geq 0}

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.1

In Fall 2 sei nun $\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\not =0$ und $x\in X$ beliebig gewählt. Dann liegt für $\|x\|_{\alpha }>0$ der Vektor ${\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}$ auf dem topologischen Rand der abgeschlossenen Einheitskugel ${\overline {B_{1}^{(\alpha )}(0_{X})}}$ in $X$ , denn es gilt:

\|{\widehat {x}}\|_{\alpha }=\left\|{\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}\right\|_{\alpha }={\frac {\|x\|_{\alpha }}{\|x\|_{\alpha }}}=1

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.2

Da nun $\|{\widehat {x}}\|_{\alpha }\leq 1$ erfüllt ist, kann die Aussage (3) auf ${\widehat {x}}:={\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}$ angewendet werden und man erhält:

{\begin{array}{rcl}M_{\alpha }&\geq &\|T({\widehat {x}})\|_{\widetilde {\alpha }}=\left\|T\left({\frac {x}{\|x\|_{\alpha }}}\right)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\&{\stackrel {T\,lin}{=}}&\left\|{\frac {1}{\|x\|_{\alpha }}}\cdot T(x)\right\|_{\widetilde {\alpha }}\\&{\stackrel {\|\cdot \|_{\widetilde {\alpha }}\,hom.}{=}}&\left|{\frac {1}{\|x\|_{\alpha }}}\right|\cdot \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}={\frac {1}{\|x\|_{\alpha }}}\cdot \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\end{array}}

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.3

Die Normierung zu $\|{\widehat {x}}\|_{\alpha }=1$ konnte im obigen Fall nur unter der Bedingung durchgeführt werden, wenn $\|x\|_{\alpha }>0$ gegeben war. Es fehlt also noch die Untersuchung vom Fall $\|x\|_{\alpha }=0$ und $\|T({\widehat {x}})\|_{\widetilde {\alpha }}>0$ . Es existieren unter der Voraussetzung (3) keine $x\in X$ mit $\|x\|_{\alpha }=0$ und $0<\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M_{\alpha }$ , wie die folgende Begründung zeigt.

Begründung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.4

Es gilt keine $x\in X$ mit $\|x\|_{\alpha }=0$ und $0<\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M_{\alpha }$ , denn mit $\|x\|_{\alpha }=0$ gilt auch $\|\lambda \cdot x\|_{\alpha }=0<1$ für alle $\lambda \in \mathbb {K}$ . Dann würde aber die Bedingung der Beschränktheit aus (3) durch $M_{\alpha }$ verletzt, denn es gilt mit der Linearität von $T$ und der Homogenität des Gaugefunktionals $\|\lambda \cdot x\|_{\alpha }=0<1$ :

\|T(\lambda \cdot x)\|_{\widetilde {\alpha }}=|\lambda |\cdot \underbrace {\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}} _{>0}

.

Bemerkung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.4

Da nach (3) eine Schranke $M_{\alpha }$ existiert und $\lambda >0$ wird beliebig groß, kann unter dieser Bedingung $\|x\|_{\alpha }=0$ diese Schranke nicht existieren.

Folgerung SLAT (3) nach (4) - Fall 2.4

Insgesamt erhält man (3): Für alle ${\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}$ ein $\alpha \in {\mathcal {A}}$ existiert, wobei für $\|x\|_{\alpha }>0$ gilt:

M_{\alpha }\geq \|T({\widehat {x}})\|_{\widetilde {\alpha }}={\frac {1}{\|x\|_{\alpha }}}\cdot \|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}

bzw. die Ungleichung

\|T(x)\|_{\widetilde {\alpha }}\leq M\cdot \|x\|_{\alpha }

Folgerung SLAT (4) nach (1)

Nach Voraussetzung gelte (4) $\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}}}\exists _{\alpha \in {\mathcal {A}},\,M_{\alpha }>0}\forall _{x\in X}\,:\,\|T(x)\|_{\widetilde {\mathcal {A}}}\leq M_{\alpha }\cdot \|x\|_{\alpha }$ ,
Wir zeigen nun, dass die lineare Abbildung $T$ in einem beliebigen Punkt $x_{o}\in X$ stetig ist.

D.h. wir zeigen, dass aus $\lim _{i\to \infty }^{\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}x_{i}=x_{o}$ auch die Konvergenz der Bildnetz $\lim _{i\to \infty }^{\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}T(x_{i})=T(x_{o})$ gegen $T(x_{o})$ erfüllt ist. Über dem Limes steht das Gaugefunktionalsystem, bzgl. der die Konvergenz definiert wird.

Folgerung SLAT (4) nach (1) - Teil 1

Für den Nachweis der Stetigkeit von $T$ in jedem Punkt aus $X$ sei nun $x_{0}\in X$ beliebig gewählt. Ferner sei ein Netz $(x_{i})_{i\in I}\in X^{I}$ in $X$ mit $\lim _{i\to \infty }^{\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}x_{i}=x_{o}$ gegeben, die also gegen $x_{0}\in X$ bzgl. des Gaugefunktionalsystems $\|\cdot \|_{\mathcal {A}}$ konvergiert. Für den Nachweis der Konvergenz der Bildnetze $(T(x_{i}))_{i\in I}\in Y^{I}$ gegen $T(x_{0})\in Y$ verwenden man die Linearität und die Einschachtelung des Bildnetzes durch Verwendung der Ungleichung (4).

Folgerung SLAT (4) nach (1) - Teil 2

Zunächst einmal drücken wir die Konvergenzaussage für Netze in der Topologie durch die Gaugefunktionalsysteme aus.

${\begin{array}{ll}\displaystyle \lim _{i\to \infty }^{\|\cdot \|_{\mathcal {A}}}&x_{i}=x_{o}\,\,\Longleftrightarrow \\&\forall _{\alpha \in {\mathcal {A}},\delta >0}\exists _{i_{(\alpha ,\delta )}\in I}\forall _{i\succ i_{(\alpha ,\delta )}}\,:\,\|x_{i}-x_{o}\|_{\alpha }<\delta \end{array}}$
${\begin{array}{ll}\displaystyle \lim _{{\widetilde {i}}\to \infty }^{\|\cdot \|_{\widetilde {\mathcal {A}}}}&T(x_{i})=T(x_{o})\,\,\Longleftrightarrow \\&\forall _{{\widetilde {\alpha }}\in {\widetilde {\mathcal {A}}},\varepsilon >0}\exists _{i_{({\widetilde {\alpha }},\varepsilon )}\in I}\forall _{i\succ i_{({\widetilde {\alpha }},\varepsilon )}}:\|T(x_{i})-T(x_{o})\|_{\widetilde {\alpha }}<\varepsilon \end{array}}$

Folgerung SLAT (4) nach (1) - Teil 2

Für den Nachweis der Konvergenz des Netzes $(T(x_{i}))_{i\in I}\in Y^{I}$ gegen $T(x_{0})\in Y$ wird der Abstand zwischen Komponenten des Bildnetzes $T(x_{i})$ und $T(x_{o})$ wie folgt abgeschätzt:

{\begin{array}{rcl}0&\leq &\|T(x_{i})-T(x_{0})\|_{\widetilde {\alpha }}{\stackrel {T\,lin.}{=}}\|T(x_{i}-x_{0})\|_{\widetilde {\alpha }}\\&{\stackrel {(4)}{\leq }}&M_{\alpha }\cdot \|x_{i}-x_{0}\|_{\alpha }{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle i\to \infty }}0\\\end{array}}

,

da $(x_{i})_{i\in I}\in X^{I}$ in $X$ gegen $x_{0}\in X$ konvergiert und mit $\|x_{i}-x_{0}\|_{\alpha }{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle i\to \infty }}0$ durch Abschätzung auch $\|T(x_{i})-T(x_{0})\|_{\widetilde {\alpha }}{\,}_{\stackrel {\displaystyle \longrightarrow }{\scriptscriptstyle i\to \infty }}0$ konvergiert.