Taylorreihe/R/Potenzreihenansatz/Textabschnitt

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Die Taylor-Reihe einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion liefert häufig eine gute Approximation für die Funktion. Definitionsgemäß muss man zur Berechnung der Taylor-Reihe die Funktion ableiten. Für „implizit“ gegebene Funktionen kann man sie aber auch direkt bestimmen, was wir hier anhand typischer Beispiele demonstrieren (Potenzreihenansatz). Als Faustregel gilt dabei, dass man lediglich die -ten Ableitungen der die Funktion definierenden Daten kennen muss, um das -te Taylor-Polynom der Funktion zu bestimmen. Wir verzichten weitgehend auf Konvergenzüberlegungen. Wenn aber die Daten durch Potenzreihen gegeben sind, so konvergieren die im Folgenden beschriebenen Taylor-Reihen auf einem gewissen Intervall und stellen eine Funktion dar.

Bemerkung  

Es seien

und

Funktionen, für die die Taylor-Polynome in den Entwicklungspunkten und bis zum Grad bekannt seien (insbesondere seien also diese Funktionen bis zur Ordnung differenzierbar). Dann ist die hintereinandergeschaltete Funktion

bis zur Ordnung differenzierbar. Das zugehörige Taylor-Polynom lässt sich direkt berechnen: Sei dazu das Taylor-Polynom zu und das Taylor-Polynom zu . Dann stimmt das Taylor-Polynom von bis zum Grad mit dem Polynom bis zum Grad überein (das Polynom hat im Allgemeinen einen Grad . Man denke an und und ). D.h. man muss in überall durch ersetzen, durch Umsortieren ein Polynom in erhalten und davon die Monome vom Grad weglassen (diese Monome muss man also nicht ausrechnen).


Bemerkung  

Es sei

eine -fach differenzierbare Funktion, für die das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt bis zum Grad bekannt sei und für die sei. Dann ist die Funktion auf einem offenen Intervall um definiert und nach Fakt  (4) differenzierbar in . Aufgrund von Fakt gilt (für )

bzw.

d.h. für die Funktion ist die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt bekannt. Wir ersetzen durch , so dass gilt. Dann kann man die Funktion als die Verknüpfung von mit der Funktion schreiben. Daher erhält man wegen Bemerkung das Taylor-Polynom bis zum Grad von , indem man in das Taylor-Polynom (bis zum Grad ) von im Entwicklungspunkt einsetzt und beim Grad abschneidet. Das Taylor-Polynom von erhält man, indem man durch teilt.



Beispiel  

Wir möchten die Taylor-Reihe bis zum Grad von im Entwicklungspunkt gemäß Bemerkung bestimmen. Nach Definition ist

Zur Berechnung des Taylor-Polynoms bis zum Grad braucht man nur die angeführte Entwicklung des Kosinus bis zum Grad . Das Taylorpolynom bis zum Grad von im Nullpunkt ist somit

Dabei wurden nur die für den Grad relevanten Monome ausgerechnet. Das gesuchte Taylorpolynom ist also


Bemerkung  

Es sei

( seien reelle Intervalle) eine bijektive, -mal differenzierbare Funktion, und in einem festen Punkt gelte . Nach Fakt ist die Umkehrfunktion

ebenfalls differenzierbar. Die Taylorreihe bis zum Grad der Umkehrfunktion kann man aus der Taylorreihe bis zum Grad von berechnen. Man macht dazu ausgehend von den Ansatz

Dabei steht rechts die Taylor-Reihe der Identität, und links muss man das zu bestimmende Polynom mit unbestimmten Koeffizienten ansetzen und in das Polynom einsetzen (die Gleichung kann nicht als eine polynomiale Identität gelten, sondern nur, wenn man Terme vom Grad ignoriert). Der Einfachheit halber sei und . Es sei (mit ) vorgegeben und gesucht. Dies führt zur Gesamtbedingung

Damit erhält man die Einzelbedingungen (durch Koeffizientenvergleich zu jedem Grad )

aus denen man sukzessive die Koeffizienten berechnen kann.