Taylorreihe/R/Potenzreihenansatz/Textabschnitt

Die Taylor-Reihe einer hinreichend oft differenzierbaren Funktion liefert häufig eine gute Approximation für die Funktion. Definitionsgemäß muss man zur Berechnung der Taylor-Reihe die Funktion ableiten. Für „implizit“ gegebene Funktionen kann man sie aber auch direkt bestimmen, was wir hier anhand typischer Beispiele demonstrieren (Potenzreihenansatz). Als Faustregel gilt dabei, dass man lediglich die ${}n$ -ten Ableitungen der die Funktion definierenden Daten kennen muss, um das ${}n$ -te Taylor-Polynom der Funktion zu bestimmen. Wir verzichten weitgehend auf Konvergenzüberlegungen. Wenn aber die Daten durch Potenzreihen gegeben sind, so konvergieren die im Folgenden beschriebenen Taylor-Reihen auf einem gewissen Intervall und stellen eine Funktion dar.

Bemerkung

Es seien

f\colon I\longrightarrow J

und

g\colon J\longrightarrow \mathbb {R}

Funktionen, für die die Taylor-Polynome in den Entwicklungspunkten ${}a\in I$ und ${}b:=f(a)\in J$ bis zum Grad ${}n$ bekannt seien (insbesondere seien also diese Funktionen bis zur Ordnung ${}n$ differenzierbar). Dann ist die hintereinandergeschaltete Funktion

g\circ f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

bis zur Ordnung ${}n$ differenzierbar. Das zugehörige Taylor-Polynom lässt sich direkt berechnen: Es sei dazu ${}S=\sum _{i=0}^{n}c_{i}(x-a)^{i}$ das Taylor-Polynom zu ${}f$ und ${}T=\sum _{j=0}^{n}d_{j}(y-b)^{j}$ das Taylor-Polynom zu ${}g$ . Dann stimmt das Taylor-Polynom von ${}g\circ f$ bis zum Grad ${}n$ mit dem Polynom ${}T\circ S$ bis zum Grad ${}n$ überein (das Polynom ${}T\circ S$ hat im Allgemeinen einen Grad ${}>n$ . Man denke an ${}f(x)=x^{2}$ und ${}g(y)=y^{2}$ und $n=2$ ). D.h. man muss in ${}T$ überall ${}y$ durch ${}S$ ersetzen, durch Umsortieren ein Polynom in ${}x-a$ erhalten und davon die Monome vom Grad ${}\geq n+1$ weglassen (diese Monome muss man also nicht ausrechnen).

Bemerkung

Es sei

f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}

eine ${}n$ -fach differenzierbare Funktion, für die das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt ${}a\in I$ bis zum Grad ${}n$ bekannt sei und für die ${}f(a)\neq 0$ sei. Dann ist die Funktion ${}1/f$ auf einem offenen Intervall um ${}a$ definiert und nach Fakt (4) differenzierbar in ${}a$ . Aufgrund von Fakt gilt (für ${}\vert {x}\vert <1$ )

{}{\frac {1}{1-x}}=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}\,

bzw.

{}{\frac {1}{x}}=\sum _{i=0}^{\infty }(1-x)^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}(x-1)^{i}\,

d.h. für die Funktion ${}{\frac {1}{x}}$ ist die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt ${}1$ bekannt. Wir ersetzen ${}f$ durch ${}h={\frac {1}{f(a)}}f$ , so dass ${}h(a)=1$ gilt. Dann kann man die Funktion ${}1/h$ als die Verknüpfung von ${}h$ mit der Funktion ${}{\frac {1}{x}}$ schreiben. Daher erhält man wegen Bemerkung das Taylor-Polynom bis zum Grad ${}n$ von ${}1/h$ , indem man in ${}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(x-1)^{i}$ das Taylor-Polynom (bis zum Grad ${}n$ ) von ${}h$ im Entwicklungspunkt ${}a$ einsetzt und beim Grad ${}n$ abschneidet. Das Taylor-Polynom von ${}1/f$ erhält man, indem man durch ${}f(a)$ teilt.

Beispiel

Wir möchten die Taylor-Reihe bis zum Grad ${}6$ von ${}{\frac {1}{\cos x}}$ im Entwicklungspunkt ${}0$ gemäß Bemerkung bestimmen. Nach Definition ist

{}\cos x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {1}{2!}}x^{2}+{\frac {1}{4!}}x^{4}-{\frac {1}{6!}}x^{6}\ldots =1-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\ldots \,.

Zur Berechnung des Taylor-Polynoms bis zum Grad ${}6$ braucht man nur die angeführte Entwicklung des Kosinus bis zum Grad ${}6$ . Das Taylorpolynom bis zum Grad ${}6$ von ${}1/\cos x$ im Nullpunkt ist somit

{}{\begin{aligned}1-{\left(-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\right)}+{\left(-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\right)}^{2}-{\left(-{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {1}{24}}x^{4}-{\frac {1}{720}}x^{6}\right)}^{3}&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{24}}x^{4}+{\frac {1}{720}}x^{6}+{\frac {1}{4}}x^{4}-{\frac {1}{24}}x^{6}+\cdots +{\frac {1}{8}}x^{6}+\ldots \\&=1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}+\ldots .\,\end{aligned}}

Dabei wurden nur die für den Grad ${}6$ relevanten Monome ausgerechnet. Das gesuchte Taylorpolynom ist also

1+{\frac {1}{2}}x^{2}+{\frac {5}{24}}x^{4}+{\frac {61}{720}}x^{6}.

Bemerkung

Es sei

f\colon I\longrightarrow J

( ${}I,J$ seien reelle Intervalle) eine bijektive, ${}n$ -mal differenzierbare Funktion, und in einem festen Punkt ${}a\in I$ gelte ${}f'(a)\neq 0$ . Nach Fakt ist die Umkehrfunktion

g=f^{-1}\colon J\longrightarrow I

ebenfalls differenzierbar. Die Taylorreihe bis zum Grad ${}n$ der Umkehrfunktion ${}g$ kann man aus der Taylorreihe ${}S$ bis zum Grad ${}n$ von ${}f$ berechnen. Man macht dazu ausgehend von ${}f\circ g=\operatorname {Id}$ den Ansatz

{}S\circ T{\stackrel {!}{=}}x\,.

Dabei steht rechts die Taylor-Reihe der Identität, und links muss man das zu bestimmende Polynom ${}T$ mit unbestimmten Koeffizienten ansetzen und in das Polynom ${}S$ einsetzen (die Gleichung kann nicht als eine polynomiale Identität gelten, sondern nur, wenn man Terme vom Grad ${}\geq n+1$ ignoriert). Der Einfachheit halber sei ${}a=0$ und ${}f(a)=0$ . Es sei ${}S=a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n}$ (mit ${}a_{1}\neq 0$ ) vorgegeben und ${}T=b_{1}x+b_{2}x^{2}+\cdots +b_{n}x^{n}$ gesucht. Dies führt zur Gesamtbedingung