Treppenfunktionen/Eine Variable/Feste Anzahl von Intervallpunkten/Extremwertaufgabe/Bemerkung

Es sei

$g\colon [a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetige Funktion und

${}a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}<x_{n+1}=b\,$

eine Unterteilung des Intervalls durch ${}n$ Zwischenpunkte (in $n+1$ Teilintervalle). Dazu gehört die Treppenfunktion, die auf ${}[x_{i},x_{i+1}[$ den konstanten Wert ${}g(x_{i})$ annimmt. Wenn ${}g$ monoton wachsend ist, so ist dies eine untere Treppenfunktion, und das zugehörige Treppenintegral ist eine untere Schranke für das bestimmte Integral ${}\int _{a}^{b}g(t)dt$. Das Treppenintegral ist durch

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=0}^{n}g(x_{i}){\left(x_{i+1}-x_{i}\right)}\,$

gegeben. Wir fragen uns, für welche Intervallunterteilung mit ${}n$ Teilpunkten das Treppenintegral maximal oder minimal wird. Dazu kann man die differentiellen Methoden zur Bestimmung von Extrema für Funktionen in mehreren Variablen verwenden (nämlich den variablen Unterteilungspunkten $x_{1},\ldots ,x_{n}$), vorausgesetzt, dass ${}g$ (hinreichend oft) differenzierbar (in einer Variablen) ist. In diesem Fall sind die partiellen Ableitungen von ${}f$ gleich

${}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=g'(x_{i}){\left(x_{i+1}-x_{i}\right)}-g(x_{i})+g(x_{i-1})\,$

für ${}i=1,\ldots ,n$ (wobei ${}x_{0}=a$ und ${}x_{n+1}=b$ zu lesen ist). Als Definitionsbereich von ${}f$ kann man die offene Menge

${}{\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid a<x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}<b\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

oder aber ${}[a,b]^{n}$ wählen. Es ist im Allgemeinen schwierig, die kritischen Punkte dieser Abbildung zu bestimmen.