Vektorraum/Basis/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ${}v_{i}\in V$, ${}i\in I$, von ${}V$ eine Basis von ${}V$.

Beispiel

Die Standardvektoren im ${}K^{n}$ bilden eine Basis. Die lineare Unabhängigkeit wurde in Beispiel gezeigt. Um zu zeigen, dass auch ein Erzeugendensystem vorliegt, sei

${}v={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}\,$

ein beliebiger Vektor. Dann ist aber direkt

${}v=\sum _{i=1}^{n}b_{i}e_{i}\,.$

Also liegt eine Basis vor, die man die Standardbasis des ${}K^{n}$ nennt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in V$ eine Familie von Vektoren. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. Die Familie ist eine Basis von ${}V$.
2. Die Familie ist ein minimales Erzeugendensystem, d.h. sobald man einen Vektor ${}v_{i}$ weglässt, liegt kein Erzeugendensystem mehr vor.
3. Für jeden Vektor ${}u\in V$ gibt es genau eine Darstellung

   ${}u=s_{1}v_{1}+\cdots +s_{n}v_{n}\,.$

4. Die Familie ist maximal linear unabhängig, d.h. sobald man irgendeinen Vektor dazunimmt, ist die Familie nicht mehr linear unabhängig.

Beweis

Dieser Beweis wurde in der Vorlesung nicht vorgeführt.

Wir führen einen Ringschluss durch. ${}(1)\Rightarrow (2)$. Die Familie ist ein Erzeugendensystem. Nehmen wir einen Vektor, sagen wir ${}v_{1}$, aus der Familie heraus. Wir müssen zeigen, dass dann die verbleibende Familie, also ${}v_{2},\ldots ,v_{n}$ kein Erzeugendensystem mehr ist.  Wenn sie ein Erzeugendensystem wäre, so wäre insbesondere ${}v_{1}$ als Linearkombination der Vektoren darstellbar, d.h. man hätte

$v_{1}=\sum _{i=2}^{n}s_{i}v_{i}.$

Dann ist aber

$v_{1}-\sum _{i=2}^{n}s_{i}v_{i}=0$

eine nichttriviale Darstellung der ${}0$, im Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der Familie. ${}(2)\Rightarrow (3)$. Nach Voraussetzung ist die Familie ein Erzeugendensystem, so dass sich jeder Vektor als Linearkombination darstellen lässt.  Angenommen, es gibt für ein ${}u\in V$ eine mehrfache Darstellung, d.h.

${}u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}=\sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}\,,$

wobei mindestens ein Koeffizient verschieden sei. Ohne Einschränkung sei ${}s_{1}\neq t_{1}$. Dann erhält man die Beziehung

$(s_{1}-t_{1})v_{1}=\sum _{i=2}^{n}(t_{i}-s_{i})v_{i}.$

Wegen ${}s_{1}-t_{1}\neq 0$ kann man durch diese Zahl dividieren und erhält eine Darstellung von ${}v_{1}$ durch die anderen Vektoren. Nach Aufgabe ist auch die Familie ohne ${}v_{1}$ ein Erzeugendensystem von ${}V$, im Widerspruch zur Minimalität. ${}(3)\Rightarrow (4)$. Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit besitzt insbesondere der Nullvektor nur die triviale Darstellung, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig. Nimmt man einen Vektor ${}u$ hinzu, so besitzt dieser eine Darstellung

$u=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$

und daher ist

$0=u-\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$

eine nichttriviale Darstellung der ${}0$, so dass die verlängerte Familie ${}u,v_{1},\ldots ,v_{n}$ nicht linear unabhängig ist. ${}(4)\Rightarrow (1)$. Die Familie ist linear unabhängig, wir müssen zeigen, dass sie auch ein Erzeugendensystem bildet. Es sei dazu ${}u\in V$. Nach Voraussetzung ist die Familie ${}u,v_{1},\ldots ,v_{n}$ nicht linear unabhängig, d.h. es gibt eine nichttriviale Darstellung

$0=su+\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}.$

Dabei ist ${}s\neq 0$, da andernfalls dies eine nichttriviale Darstellung der ${}0$ allein mit den linear unabhängigen Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ wäre. Daher können wir

$u=-\sum _{i=1}^{n}{\frac {s_{i}}{s}}v_{i}$

schreiben, so dass eine Darstellung von ${}u$ möglich ist.

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Bemerkung  

Es sei eine Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eines ${}K$-Vektorraums ${}V$ gegeben. Aufgrund von Fakt  (3) bedeutet dies, dass es für jeden Vektor ${}u\in V$ eine eindeutig bestimmte Darstellung (eine Linearkombination)

${}u=s_{1}v_{1}+s_{2}v_{2}+\cdots +s_{n}v_{n}\,$

gibt. Die dabei eindeutig bestimmten Elemente ${}s_{i}\in K$ (Skalare) heißen die Koordinaten von ${}u$ bezüglich der gegebenen Basis. Bei einer gegebenen Basis entsprechen sich also die Vektoren aus ${}V$ und die Koordinatentupel ${}(s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})\in K^{n}$. Man sagt, dass eine Basis ein lineares Koordinatensystem festlegt.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem.

Dann besitzt ${}V$ eine endliche Basis.

Beweis

Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}V$ mit einer endlichen Indexmenge ${}I$. Wir wollen mit der Charakterisierung aus Fakt  (2) argumentieren. Falls die Familie schon minimal ist, so liegt eine Basis vor. Andernfalls gibt es ein ${}k\in I$ derart, dass die um ${}v_{k}$ reduzierte Familie, also ${}v_{i}$, ${}i\in I\setminus \{k\}$, ebenfalls ein Erzeugendensystem ist. In diesem Fall kann man mit der kleineren Indexmenge weiterargumentieren.
Mit diesem Verfahren gelangt man letztlich zu einer Teilmenge ${}J\subseteq I$ derart, dass ${}v_{i}$, ${}i\in J$, ein minimales Erzeugendensystem, also eine Basis ist.

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