Vektorraum/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Es sei ${}U_{1},\ldots ,U_{m}$ eine Familie von Untervektorräumen von ${}V$. Man sagt, dass ${}V$ die direkte Summe der ${}U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Jeder Vektor ${}v\in V$ besitzt eine Darstellung

   ${}v=u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{m}\,$

   mit ${}u_{i}\in U_{i}$.

2. ${}U_{i}\cap {\left(\sum _{j\neq i}U_{j}\right)}=0$ für alle ${}i$.

Wenn die Summe der ${}U_{i}$ direkt ist, schreiben wir statt ${}U_{1}+\cdots +U_{m}$ auch ${}U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{m}$. Bei zwei Untervektorräumen

${}U_{1},U_{2}\subseteq V\,$

bedeutet die zweite Bedingung einfach ${}U_{1}\cap U_{2}=0$.

Beispiel

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum mit einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$. Es sei

${}\{1,\ldots ,n\}=I_{1}\uplus \ldots \uplus I_{k}\,$

eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge. Es seien

${}U_{j}=\langle v_{i},\,i\in I_{j}\rangle \,$

die durch die Teilfamilien erzeugten Untervektorräume. Dann ist

${}V=U_{1}\oplus \cdots \oplus U_{k}\,.$

Der Extremfall ${}I_{j}=\{j\}$ ergibt die direkte Summe

${}V=Kv_{1}\oplus \cdots \oplus Kv_{n}\,$

mit eindimensionalen Untervektorräumen.

Lemma

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}U\subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann gibt es einen Untervektorraum ${}W\subseteq V$ derart, dass eine direkte Summenzerlegung

${}V=U\oplus W\,$

vorliegt.

Beweis

Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{k}$ eine Basis von ${}U$. Diese können wir nach Fakt zu einer Basis ${}v_{1},\ldots ,v_{k},v_{k+1},\ldots ,v_{n}$ von ${}V$ ergänzen. Dann erfüllt

${}W=\langle v_{k+1},\ldots ,v_{n}\rangle \,$

die gewünschten Eigenschaften.

$\Box$

In der vorstehenden Aussage heißt ${}W$ ein direktes Komplement zu ${}U$ (in ${}V$). Es gibt im Allgemeinen viele verschiedene direkte Komplemente.