Vektorraum/Direkte Summe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei $K$ ein Körper und $V$ ein $K$ -Vektorraum. Es sei $U_{1}, \dots, U_{m}$ eine Familie von Untervektorräumen von $V$ . Man sagt, dass $V$ die direkte Summe der $U_{i}$ ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

Jeder Vektor $v \in V$ besitzt eine Darstellung
$v = u_{1} + u_{2} + \dots + u_{m}$

mit $u_{i} \in U_{i}$ .
$U_{i} \cap (\sum_{j \neq i} U_{j}) = 0$ für alle $i$ .

Wenn die Summe der $U_{i}$ direkt ist, schreiben wir statt $U_{1} + \dots + U_{m}$ auch $U_{1} \oplus \dots \oplus U_{m}$ . Bei zwei Untervektorräumen

U_{1}, U_{2} \subseteq V

bedeutet die zweite Bedingung einfach $U_{1} \cap U_{2} = 0$ .

Beispiel

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum mit einer Basis $v_{1}, \dots, v_{n}$ . Es sei

{1, \dots, n} = I_{1} ⊎ \dots ⊎ I_{k}

eine disjunkte Zerlegung der Indexmenge. Es seien

U_{j} = ⟨ v_{i}, i \in I_{j} ⟩

die durch die Teilfamilien erzeugten Untervektorräume. Dann ist

V = U_{1} \oplus \dots \oplus U_{k} .

Der Extremfall $I_{j} = {j}$ ergibt die direkte Summe

V = K v_{1} \oplus \dots \oplus K v_{n}

mit eindimensionalen Untervektorräumen.

Lemma

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$ -Vektorraum und $U \subseteq V$ ein Untervektorraum.

Dann gibt es einen Untervektorraum $W \subseteq V$ derart, dass eine direkte Summenzerlegung

$V = U \oplus W$

vorliegt.

Beweis

Es sei $v_{1}, \dots, v_{k}$ eine Basis von $U$ . Diese können wir nach Fakt zu einer Basis $v_{1}, \dots, v_{k}, v_{k + 1}, \dots, v_{n}$ von $V$ ergänzen. Dann erfüllt

W = ⟨ v_{k + 1}, \dots, v_{n} ⟩

die gewünschten Eigenschaften.

◻

In der vorstehenden Aussage heißt $W$ ein direktes Komplement zu $U$ (in $V$ ). Es gibt im Allgemeinen viele verschiedene direkte Komplemente.