Vektorraum/Nur Zahlenraum/Einführung/Textabschnitt

Die Addition von zwei Pfeilen ${}a$ und ${}b$, ein typisches Beispiel für Vektoren.

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Dann ist die Produktmenge

${}K^{n}=\underbrace {K\times \cdots \times K} _{n{\text{-mal}}}={\left\{(x_{1},\ldots ,x_{n})\mid x_{i}\in K\right\}}\,$

mit der komponentenweisen Addition, also

${}(x_{1},\ldots ,x_{n})+(y_{1},\ldots ,y_{n}):=\left(x_{1}+y_{1},\,\ldots ,\,x_{n}+y_{n}\right)\,$

und der durch

${}s(x_{1},\ldots ,x_{n})=(sx_{1},\ldots ,sx_{n})\,$

definierten Skalarmultiplikation ein sogenannter Vektorraum. Damit ist folgendes gemeint: Die Menge ${}K^{n}$ ist mit der Verknüpfung ${}+$, die man (Vektor)-Addition nennt, eine kommutative Gruppe, und die Operation ${}K\times K^{n}\rightarrow K^{n}$, die man Skalarmultiplikation nennt, erfüllt die folgenden Eigenschaften.

1. ${}r(su)=(rs)u$.
2. ${}r(u+v)=ru+rv$.
3. ${}(r+s)u=ru+su$
4. ${}1u=u$.

Diese Eigenschaften lassen sich für den ${}K^{n}$ direkt überprüfen.

Man nennt den ${}K^{n}$ mit diesen Strukturen den ${}n$-dimensionalen Standardraum oder (kartesischen) Zahlenraum. Insbesondere ist ${}K^{1}=K$ selbst ein Vektorraum. Die Elemente in einem Vektorraum nennt man Vektoren, und die Elemente ${}r\in K$ heißen Skalare. Zu

${}v=\left(v_{1},\,v_{2},\,\ldots ,\,v_{n}\right)\in K^{n}\,$

nennt man ${}v_{i}$ die ${}i$-te Koordinate des Vektors. Das Nullelement ${}0=(0,\ldots ,0)\in K^{n}$ wird auch als Nullvektor bezeichnet, und zu ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ heißt

${}-v=-(v_{1},\ldots ,v_{n})=(-v_{1},\ldots ,-v_{n})\,$

das Negative zu ${}v$. Wie in Ringen gilt wieder Punktrechnung vor Strichrechnung, d.h. die Skalarmultiplikation bindet stärker als die Vektoraddition.

Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den Grundkörper. Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei ${}K=\mathbb {Q}$ spricht man von rationalen Vektorräumen und bei ${}K=\mathbb {R}$ von reellen Vektorräumen. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper.

Der Nullraum ${}0$, der aus dem einzigen Element ${}0$ besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als ${}K^{0}=0$ auffassen. Es empfiehlt sich, Vektorräume als geometrische Objekte aufzufassen und sich ${}K^{1}$ als eine Gerade, ${}K^{2}$ als eine Ebene und ${}K^{3}$ als einen Raum vorzustellen.

Die Vektoren im Standardraum ${}K^{n}$ kann man als Zeilenvektoren

$\left(a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right)$

oder als Spaltenvektoren

${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}$

schreiben. Der Vektor

${}e_{i}:={\begin{pmatrix}0\\\vdots \\0\\1\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}\,,$

wobei die ${}1$ an der ${}i$-ten Stelle steht, heißt ${}i$-ter Standardvektor.

Definition

Zu Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ und Skalaren ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man

$\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$

eine Linearkombination dieser Vektoren.

Definition

Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor ${}w\in K^{m}$ als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann, wenn es also Skalare ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

gibt.

Man verlangt hier keine Eindeutigkeit, bei einem Erzeugendensystem kann man einen Vektor im Allgemeinen auf verschiedene Arten als Linearkombination darstellen.

Beispiel

Wir betrachten im ${}\mathbb {Q} ^{2}$ die drei Vektoren ${}{\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}7\\-13\end{pmatrix}}$. Den Vektor ${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$ kann man als

${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=-{\frac {9}{53}}\cdot {\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}+{\frac {2}{53}}\cdot {\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}7\\-13\end{pmatrix}}\,,$

aber auch als

${}{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}7\\-13\end{pmatrix}}\,$

schreiben. Besonders deutlich wird das Uneindeutigkeitsphänomen, wenn man den Nullvektor ${}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$ betrachtet. Es ist

${}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=0\cdot {\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}7\\-13\end{pmatrix}}\,$

die sogennante triviale Darstellung des Nullvektors, aber es ist auch

${}{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}=115\cdot {\begin{pmatrix}-5\\2\end{pmatrix}}+51\cdot {\begin{pmatrix}4\\9\end{pmatrix}}+53\cdot {\begin{pmatrix}7\\-13\end{pmatrix}}\,.$

Lemma

Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$.
2. Für jeden Standardvektor ${}e_{i}$ gibt es eine Darstellung als Linearkombination

   ${}e_{i}=\sum s_{j}v_{j}\,.$

3. Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\in K^{m}$ ist das lineare Gleichungssystem

   ${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$

   lösbar.

Beweis

(1) und (3) sind äquivalent, da (3) lediglich eine ausgeschriebene Version von (1) ist. Die Eigenschaft (2) ist eine Spezialisierung von (1). Die Umkehrung ergibt sich so. Man schreibt

${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}=w_{1}e_{1}+\cdots +w_{m}e_{m}\,.$

Da man nach Voraussetzung die ${}e_{i}$ als Linearkombinationen der ${}v_{j}$ ausdrücken kann, ergibt sich auch eine Linearkombination von ${}w$ mit den ${}v_{j}$.

$\Box$

Wenn die Vektoren die Standardvektoren ${}e_{1},\ldots ,e_{n}$ sind, so kann man jeden Vektor wegen

${}\left(a_{1},\,a_{2},\,\ldots ,\,a_{n}\right)=a_{1}e_{1}+\cdots +a_{n}e_{n}\,$

unmittelbar und eindeutig als Linearkombination der Standardvektoren darstellen.

Definition

Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen eine Basis des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor ${}w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

gibt.

Lemma

Es seien ${}v_{1}={\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}},v_{2}={\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}},\ldots ,v_{n}={\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}$ Vektoren im ${}K^{m}$. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

1. Die Vektoren bilden eine Basis des ${}K^{m}$.
2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$, und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ${}v_{j}$ ist die triviale Darstellung

   ${}0=0\cdot v_{1}+\cdots +0\cdot v_{n}\,.$

3. Für jedes ${}w={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}=K^{m}$ besitzt das lineare Gleichungssystem

   ${}s_{1}{\begin{pmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{pmatrix}}+s_{2}{\begin{pmatrix}a_{12}\\\vdots \\a_{m2}\end{pmatrix}}+\cdots +s_{n}{\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}w_{1}\\\vdots \\w_{m}\end{pmatrix}}\,$

   eine eindeutige Lösung.

Beweis

(1) und (3) sind äquivalent, da (3) lediglich eine ausgeschriebene Version von (1) ist. Die Implikation von (1) nach (2) ist klar, da die eindeutige Darstellbarkeit insbesondere für den Nullvektor gilt. Für die Umkehrung sei

${}w=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}=\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}\,$

angenommen. Dann ist direkt

${}0=w-w=\sum _{j=1}^{n}s_{j}v_{j}-\sum _{j=1}^{n}t_{j}v_{j}=\sum _{j=1}^{n}(s_{j}-t_{j})v_{j}\,.$

Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit der ${}0$ muss ${}s_{j}-t_{j}=0$, also ${}s_{j}=t_{j}$ für alle ${}j$ sein.

$\Box$

Es sei bemerkt, dass die Bedingungen im vorstehenden Lemma nur bei ${}m=n$ erfüllt sein können.