Vektorraum/Nur Zahlenraum/Einführung/Textabschnitt

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Die Addition von zwei Pfeilen und , ein typisches Beispiel für Vektoren.

Es sei ein Körper und . Dann ist die Produktmenge

mit der komponentenweisen Addition, also

und der durch

definierten Skalarmultiplikation ein sogenannter Vektorraum. Damit ist folgendes gemeint: Die Menge ist mit der Verknüpfung , die man (Vektor)-Addition nennt, eine kommutative Gruppe, und die Operation , die man Skalarmultiplikation nennt, erfüllt die folgenden Eigenschaften.

  1. .
  2. .
  3. .

Diese Eigenschaften lassen sich für den direkt überprüfen.

Man nennt den mit diesen Strukturen den -dimensionalen Standardraum oder (kartesischen) Zahlenraum. Insbesondere ist selbst ein Vektorraum. Die Elemente in einem Vektorraum nennt man Vektoren, und die Elemente heißen Skalare. Zu

nennt man die -te Koordinate des Vektors. Das Nullelement wird auch als Nullvektor bezeichnet, und zu heißt

das Negative zu . Wie in Ringen gilt wieder Punktrechnung vor Strichrechnung, d.h. die Skalarmultiplikation bindet stärker als die Vektoraddition.

Den Körper, der im Vektorraumbegriff vorausgesetzt ist, nennt man auch den Grundkörper. Alle Begriffe der linearen Algebra beziehen sich auf einen solchen Grundkörper, er darf also nie vergessen werden, auch wenn er manchmal nicht explizit aufgeführt wird. Bei spricht man von rationalen Vektorräumen und bei von reellen Vektorräumen. Zunächst entwickeln wir aber die algebraische Theorie der Vektorräume über einem beliebigen Körper.

Vector space illust.svg


Der Nullraum , der aus dem einzigen Element besteht, ist ebenfalls ein Vektorraum. Man kann ihn auch als auffassen.

Die Vektoren im Standardraum kann man als Zeilenvektoren

oder als Spaltenvektoren

schreiben. Der Vektor

wobei die an der -ten Stelle steht, heißt -ter Standardvektor.


Definition  

Zu Vektoren im und Skalaren nennt man

eine Linearkombination dieser Vektoren.


Definition  

Die Vektoren im heißen ein Erzeugendensystem des , wenn man jeden Vektor als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann, wenn es also Skalare mit

gibt.

Man verlangt hier keine Eindeutigkeit, bei einem Erzeugendensystem kann man einen Vektor im Allgemeinen auf verschiedene Arten als Linearkombination darstellen.


Beispiel  

Wir betrachten im die drei Vektoren und . Den Vektor kann man als

aber auch als

schreiben. Besonders deutlich wird das Uneindeutigkeitsphänomen, wenn man den Nullvektor betrachtet. Es ist

die sogennante triviale Darstellung des Nullvektors, aber es ist auch




Lemma  

Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des .
  2. Für jeden Standardvektor gibt es eine Darstellung als Linearkombination
  3. Für jedes ist das lineare Gleichungssystem

    lösbar.

Beweis  

(1) und (3) sind äquivalent, da (3) lediglich eine ausgeschriebene Version von (1) ist. Die Eigenschaft (2) ist eine Spezialisierung von (1). Die Umkehrung ergibt sich so. Man schreibt

Da man nach Voraussetzung die als Linearkombinationen der ausdrücken kann, ergibt sich auch eine Linearkombination von mit den .


Wenn die Vektoren die Standardvektoren sind, so kann man jeden Vektor wegen

unmittelbar und eindeutig als Linearkombination der Standardvektoren darstellen.


Definition  

Die Vektoren im heißen eine Basis des , wenn man jeden Vektor eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare mit

gibt.



Lemma  

Es seien Vektoren im . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Die Vektoren bilden eine Basis des .
  2. Die Vektoren bilden ein Erzeugendensystem des , und die einzige Darstellung des Nullvektors als Linearkombination der ist die triviale Darstellung
  3. Für jedes besitzt das lineare Gleichungssystem

    eine eindeutige Lösung.

Beweis  

(1) und (3) sind äquivalent, da (3) lediglich eine ausgeschriebene Version von (1) ist. Die Implikation von (1) nach (2) ist klar, da die eindeutige Darstellbarkeit insbesondere für den Nullvektor gilt. Für die Umkehrung sei

angenommen. Dann ist direkt

Wegen der eindeutigen Darstellbarkeit der muss , also für alle sein.

Es sei bemerkt, dass die Bedingungen im vorstehenden Lemma nur bei erfüllt sein können.