Veronese-Ringe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/2/Beispiel

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Wir betrachten die durch

mit

gegebene Graduierung auf , die der linearen Operation der Matrizen

zu einer -ten primitiven Einheitswurzel entspricht. Nach Aufgabe ist der Invariantenring zu dieser Operation der -te Veronese-Ring

Die Bedingungen von

Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also der einzige Fixpunkt und die Operation auf ist fixpunktfrei. Daher kann man bei Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also

gleich ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch den Homomorphismus

gegeben, der die Erzeuger des umgebenden auf abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem - Algebrahomomorphismus

mit

für alle Monome aus dem Veronese-Ring (die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome , , werden einfach auf abgebildet). Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung

(bzw. ins punktierte Spektrum). Somit ist

ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Veronese-Ringes.