Veronese-Ringe/Fixpunktfreiheit/Fundamentalgruppe/2/Beispiel

Wir betrachten die durch

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{n}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$

mit

$\delta (e_{j})=1{\text{ für alle }}j$

gegebene Graduierung auf ${}{\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]$, die der linearen Operation der Matrizen

${\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0&\cdots &\cdots &0\\0&\zeta ^{i}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&\zeta ^{i}&0\\0&\cdots &\cdots &0&\zeta ^{i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1,$

zu einer ${}\ell$-ten primitiven Einheitswurzel ${}\zeta$ entspricht. Nach Aufgabe ist der Invariantenring zu dieser Operation der ${}\ell$-te Veronese-Ring

${\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}.$

Die Bedingungen von

Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also ${}0\in {\mathbb {C} }^{n}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${}{\mathbb {C} }^{n}\setminus \{0\}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man bei ${}n\geq 2$ Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also

$\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},$

gleich ${}\mathbb {Z} /(\ell )$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch den Homomorphismus

$\gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z}$

gegeben, der die Erzeuger ${}e_{j}$ des umgebenden ${}\mathbb {Z} ^{n}$ auf ${}{\frac {1}{\ell }}$ abbildet. Somit wird jeder Erzeuger des Monoids auf ${}1$ abgebildet. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon {\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$

mit

${}\varphi {\left(X^{\nu }\right)}=T^{\frac {\vert {\nu }\vert }{\ell }}\,$

für alle Monome ${}X^{\nu }$ aus dem Veronese-Ring (die Erzeuger des Veronese-Ringes, also die Monome ${}X^{\nu }$, ${}\vert {\nu }\vert =\ell$, werden einfach auf ${}W$ abgebildet). Dies führt wiederum zur stetigen Abbildung

${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} },\,t\longmapsto (t:\,\vert {\nu }\vert =\ell )$

(bzw. ins punktierte Spektrum). Somit ist

$[0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X_{1},\ldots ,X_{n}]^{(\ell )}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto {\left(e^{{\mathrm {i} }s}:\,\vert {\nu }\vert =\ell \right)},$

ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe des Veronese-Ringes.