Zahlbereich/Spur und Norm/Einführung/Textabschnitt

Zu einer ${}R$-Algebra ${}S$ definiert jedes Element  ${}f\in S$  einen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}S\longrightarrow S$, ${}x\longmapsto fx$, die Multiplikationsabbildung. Wenn ${}S$ eine endlich erzeugte freie ${}R$-Algebra ist, ihre additive Struktur also die Form  ${}S=R^{n}$  besitzt, so wird dieser Multiplikationshomomorphismus bezüglich einer ${}R$-Basis von ${}S$ durch eine ${}n\times n$-Matrix beschrieben, die die Multiplikationsmatrix (zu ${}f$ bezüglich dieser Basis) heißt. In diesem Fall kann man Konzepte der Matrixtheorie der linearen Algebra auf diese Multiplikationsabbildung anwenden. Diese Situation liegt bei einer endlichen Körpererweiterung  ${}K\subseteq L$  vor, aber auch ein Zahlbereich ist stets nach Fakt eine freie ${}\mathbb {Z}$-Algebra. Aber auch wenn  ${}R\subseteq S$  Integritätsbereiche sind mit ${}S$ endlich erzeugt als ${}R$-Modul, so kann man auch im nichtfreien Fall über die Quotientenkörper die folgenden Konzepte anwenden.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$-Algebra. Zu einem Element  ${}f\in S$  nennt man die Spur des ${}R$-Modulhomomorphismus

$\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$

die Spur von ${}f$. Sie wird mit ${}\operatorname {Spur} {\left(f\right)}$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}S$ eine kommutative endliche freie ${}R$-Algebra. Zu einem Element  ${}f\in S$  nennt man die Determinante des ${}R$-Modulhomomorphismus

$\mu _{f}\colon S\longrightarrow S,\,y\longmapsto fy,$

die Norm von ${}f$. Sie wird mit ${}N(f)$ bezeichnet.

Bei einer freien ${}R$-Algebra ${}S$ ist die Spur

$S\longrightarrow R,\,f\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(f\right)},$

${}R$-linear und insbesondere additiv und die Norm

$S\longrightarrow R,\,f\longmapsto N(f),$

ist multiplikativ. Darin liegen ihre jeweiligen Bedeutungen, dass mit ihrer Hilfe additive bzw. multiplikative Eigenschaften von ${}S$ in ${}R$ widergespiegelt werden können. Einen Ringhomomorphismus von ${}S$ nach ${}R$ gibt es nur sehr selten, deshalb sind Spur und Norm in gewissem Sinne optimal.