Zahlenraum/Ebenen und Geraden/Einführung/Textabschnitt
Lemma
Beweis
Dies folgt aus Fakt und daraus, dass die beiden angegebenen Vektoren offenbar Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Gleichung sind, die wegen kein Vielfaches voneinander sind. Man kann auch jede Lösung als Linearkombination dieser beiden Lösungen schreiben, es ist nämlich
Also handelt es sich um Basislösungen.
Beispiel
Wir betrachten die beiden Mengen
(aus Beispiel) und
und interessieren uns für den Durchschnitt
Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie und ), erfüllt, es geht also um die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems
Mit dem Eliminationsverfahren erhält man die Gleichung
Daher ist
und
sein. Somit ist
Wir besprechen ein geometrisches Beispiel ähnlich zu Beispiel, wobei jetzt die Gleichungen nicht homogen sein müssen.
Beispiel
Im seien zwei Ebenen
und
gegeben. Wie kann man die Schnittgerade beschreiben? Ein Punkt liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden Ebenengleichungen erfüllt; es muss also sowohl
gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit und ziehen davon das -fache der zweiten Gleichung ab und erhalten
Wenn man setzt, so muss und sein. D.h. der Punkt gehört zu . Ebenso findet man, indem man setzt, den Punkt . Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also