Zum Inhalt springen

Zahlenraum/Ebenen und Geraden/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity


Lemma  

Es sei ein Körper und sei

eine lineare Gleichung in drei Variablen über mit .

Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene im . Wenn ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren und nehmen.

Beweis  

Dies folgt aus Fakt und daraus, dass die beiden angegebenen Vektoren offenbar Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Gleichung sind, die wegen kein Vielfaches voneinander sind. Man kann auch jede Lösung als Linearkombination dieser beiden Lösungen schreiben, es ist nämlich

Also handelt es sich um Basislösungen.



Beispiel  

Wir betrachten die Menge

Nach Fakt hat diese Ebene in Punktrichtungsform die Beschreibung



Beispiel  

Wir betrachten die beiden Mengen

(aus Beispiel) und

und interessieren uns für den Durchschnitt

Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie und ), erfüllt, es geht also um die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems

Mit dem Eliminationsverfahren erhält man die Gleichung

Daher ist

und

sein. Somit ist


Wir besprechen ein geometrisches Beispiel ähnlich zu Beispiel, wobei jetzt die Gleichungen nicht homogen sein müssen.


Beispiel  

Zwei Ebenen im Raum, die sich in einer Geraden schneiden.

Im seien zwei Ebenen

und

gegeben. Wie kann man die Schnittgerade beschreiben? Ein Punkt liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden Ebenengleichungen erfüllt; es muss also sowohl

gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit und ziehen davon das -fache der zweiten Gleichung ab und erhalten

Wenn man setzt, so muss und sein. D.h. der Punkt gehört zu . Ebenso findet man, indem man setzt, den Punkt . Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also