Zahlenraum/Ebenen und Geraden/Einführung/Textabschnitt

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${}ax+by+cz=d\,$

eine lineare Gleichung in drei Variablen über ${}K$ mit ${}(a,b,c)\neq 0$.

Dann ist die Lösungsmenge eine Ebene im ${}K^{3}$. Wenn ${}a\neq 0$ ist, so kann man als Richtungsvektoren die beiden Vektoren ${}{\begin{pmatrix}b\\-a\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}c\\0\\-a\end{pmatrix}}$ nehmen.

Beweis

Dies folgt aus Fakt und daraus, dass die beiden angegebenen Vektoren offenbar Lösungen der zugehörigen homogenen linearen Gleichung sind, die wegen ${}a\neq 0$ kein Vielfaches voneinander sind. Man kann auch jede Lösung als Linearkombination dieser beiden Lösungen schreiben, es ist nämlich

${}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=-{\frac {y}{a}}{\begin{pmatrix}b\\-a\\0\end{pmatrix}}-{\frac {z}{a}}{\begin{pmatrix}c\\0\\-a\end{pmatrix}}\,.$

Also handelt es sich um Basislösungen.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Menge

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,.$

Nach Fakt hat diese Ebene in Punktrichtungsform die Beschreibung

${}E={\left\{r{\begin{pmatrix}3\\0\\-5\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}1\\5\\0\end{pmatrix}}\mid r,s\in \mathbb {Q} \right\}}\,.$

Beispiel

Wir betrachten die beiden Mengen

${}E={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0\right\}}\,$

(aus Beispiel) und

${}F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 4x+2y-7z=0\right\}}\,$

und interessieren uns für den Durchschnitt

${}G:=E\cap F={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\,.$

Ein Punkt liegt genau dann im Durchschnitt, wenn er simultan beide Bedingungen, also beide Gleichungen (nennen wir sie ${}I$ und ${}II$), erfüllt. Gibt es eine „einfachere“ Beschreibung dieser Durchschnittsmenge? Ein Punkt, der die beiden Gleichungen erfüllt, erfüllt auch die Gleichung, die entsteht, wenn man die beiden Gleichungen miteinander addiert oder die Gleichungen mit einer Zahl ${}s\in \mathbb {Q}$ multipliziert. Eine solche Linearkombination der Gleichungen ist beispielsweise

${}4I-5II=-14y+47z=0\,.$

Daher ist

${}{\begin{aligned}G&={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}4x+2y-7z=0\right\}}\\&={\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\in \mathbb {Q} ^{3}\mid 5x-y+3z=0{\text{ und }}-14y+47z=0\right\}},\end{aligned}}$

da man aus der neuen zweiten Gleichung die alte zweite Gleichung zurückkonstruieren kann und daher die Bedingungen links und rechts insgesamt äquivalent sind. Der Vorteil der zweiten Beschreibung ist, dass man die Variable ${}x$ in der neuen zweiten Gleichung eliminiert hat. Daher kann man nach ${}y$ auflösen und erhält

${}y={\frac {47}{14}}z\,$

und für ${}x$ muss dann

${}x={\frac {1}{5}}y-{\frac {3}{5}}z={\frac {1}{5}}\cdot {\frac {47}{14}}z-{\frac {3}{5}}z={\frac {47}{70}}z-{\frac {42}{70}}z={\frac {1}{14}}z\,$

sein. Auch diese zwei aufgelösten Gleichungen sind zusammen äquivalent zu den beiden ersten und somit ist

${}G={\left\{{\begin{pmatrix}{\frac {1}{14}}z\\{\frac {47}{14}}z\\z\end{pmatrix}}\mid z\in \mathbb {Q} \right\}}\,.$

Diese Beschreibung liefert einen expliziteren Überblick über die Menge ${}G$.

Wir besprechen ein geometrisches Beispiel ähnlich zu Beispiel, wobei jetzt die Gleichungen nicht homogen sein müssen.

Beispiel

Zwei Ebenen im Raum, die sich in einer Geraden schneiden.

Im ${}\mathbb {R} ^{3}$ seien zwei Ebenen

${}E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 4x-2y-3z=5\right\}}\,$

und

${}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x-5y+2z=1\right\}}\,$

gegeben. Wie kann man die Schnittgerade ${}G=E\cap F$ beschreiben? Ein Punkt ${}P=(x,y,z)$ liegt genau dann auf der Schnittgerade, wenn er die beiden Ebenengleichungen erfüllt; es muss also sowohl

$4x-2y-3z=5\,\,{\text{ als auch }}\,\,3x-5y+2z=1$

gelten. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit ${}3$ und ziehen davon das ${}4$-fache der zweiten Gleichung ab und erhalten

${}14y-17z=11\,.$

Wenn man ${}y=0$ setzt, so muss ${}z=-{\frac {11}{17}}$ und ${}x={\frac {13}{17}}$ sein. D.h. der Punkt ${}P=\left({\frac {13}{17}},\,0,\,-{\frac {11}{17}}\right)$ gehört zu ${}G$. Ebenso findet man, indem man ${}z=0$ setzt, den Punkt ${}Q=\left({\frac {23}{14}},\,{\frac {11}{14}},\,0\right)$. Damit ist die Schnittgerade die Verbindungsgerade dieser Punkte, also

${}G={\left\{\left({\frac {13}{17}},\,0,\,-{\frac {11}{17}}\right)+t\left({\frac {209}{238}},\,{\frac {11}{14}},\,{\frac {11}{17}}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}}\,.$