Zahlentheorie/Quadratischer Zahlbereich/Primzahlverhalten/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}R=A_{D}$. Wir betrachten den Restklassenring ${}L=R/(p)$, der eine quadratische Erweiterung des Körpers ${}\mathbb {Z} /(p)$ ist. Damit gibt es nach Fakt die drei Möglichkeiten:

1. ${}L$ ist ein Körper.
2. ${}L$ ist von der Form ${}L=\mathbb {Z} /(p)[\epsilon ]/\epsilon ^{2}$.
3. ${}L$ ist der Produktring ${}L\cong \mathbb {Z} /(p)\times \mathbb {Z} /(p)$.

Im ersten Fall ist ${}p$ ein Primelement in ${}R$. Im zweiten Fall besitzt ${}L$ genau einen Restklassenkörper als einzigen nicht-trivialen Restklassenring, nämlich ${}\mathbb {Z} /(p)$. Nach der in Aufgabe bewiesenen Korrespondenz gibt es also genau ein Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ mit ${}(p)\subseteq {\mathfrak {p}}$ (das dem Ideal ${}(\epsilon )$ im Restklassenring entspricht). Dann ist ${}{\mathfrak {p}}=(p,\epsilon )$ (wobei hier ${}\epsilon$ ein Repräsentant in ${}R$ sei) und ${}{\mathfrak {p}}^{2}=(p)$.

Im dritten Fall besitzt ${}L$ zwei Restklassenkörper und damit zwei maximale Ideale, deren Durchschnitt, das zugleich deren Produkt ist, das Nullideal ist. Zurückübersetzt nach ${}R$ heißt das, dass es zwei verschiedene Primideale ${}{\mathfrak {p}}$ und ${}{\mathfrak {q}}$ gibt mit ${}(p)\subset {\mathfrak {p}},{\mathfrak {q}}$ und mit ${}(p)={\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}$. Nach Fakt ist ${}{\mathfrak {p}}\cap {\mathfrak {q}}={\mathfrak {p}}\cdot {\mathfrak {q}}$. Mit ${}(p)\subset {\mathfrak {p}}$ ist auch ${}(p)\subset {\overline {\mathfrak {p}}}$. Wir zeigen, dass ${}{\overline {\mathfrak {p}}}={\mathfrak {q}}$ ist, d.h., dass die beiden Primideale über ${}p$ konjugiert vorliegen. Da nach Fakt bei ${}p{|}\triangle$ der zweite Fall vorliegt, wissen wir, dass ${}p$ die Diskriminate nicht teilt.

Bei ${}D=2,3\mod 4$ ist ${}p$ ungerade und ${}D$ ist ein Quadratrest modulo ${}p$. Es seien ${}a$ und ${}-a$ die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln modulo ${}p$. Dann werden die beiden Primideale durch ${}(p,a\pm {\sqrt {D}})$ beschrieben, und diese sind konjugiert.

Bei ${}D=1\mod 4$ und ${}p$ ungerade ist nach der Fakt über die explizite Beschreibung der Faserringe ${}D$ wieder ein Quadratrest modulo ${}p$. Es seien ${}a$ und ${}-a$ die beiden verschiedenen (!) Quadratwurzeln von ${}D$ modulo ${}p$. Dann ist ${}\omega -{\frac {1}{2}}=\pm {\frac {a}{2}}$ und daher sind die beiden Primideale gleich ${}{\left(p,\omega \pm a-{\frac {1}{2}}\right)}={\left(p,{\frac {a\pm {\sqrt {D}}}{2}}\right)}$, so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

Bei ${}D=1\mod 4$ und ${}p=2$ ist nach der Fakt ${}D=1\mod 8$. Die Nullstellen des beschreibenden Polynoms sind dann ${}0$ und ${}1$. Daher sind die Primideale darüber gegeben durch ${}(2,\omega )$ und ${}(2,\omega -1)$. Es ist ${}(2,\omega )={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}+1}{2}}\right)}$ und ${}(2,\omega -1)={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}+1}{2}}-1\right)}={\left(2,{\frac {{\sqrt {D}}-1}{2}}\right)}$,

so dass wieder ein konjugiertes Paar vorliegt.

Zur gelösten Aufgabe