Es sei eine Zifferndarstellung
(oder Dezimalentwicklung)
gegeben, wobei wir uns nur um Darstellungen der Form kümmern müssen. Es genügt zu zeigen, dass die zugehörige Folge
eine
Cauchy-Folge
ist. Aufgrund der
Vollständigkeit
von besitzt dann die Zifferndarstellung einen eindeutigen Grenzwert, und dieser ist die durch die Zifferndarstellung bestimmte Zahl. Dazu betrachten wir die Differenz
(für )
wobei wir in der letzten Abschätzung verwendet haben, dass die Ziffern kleiner als sind. Nach
Aufgabe
gilt für die Summe rechts die Gleichheit
Bei gegebenem haben wir also für jedes
die Abschätzung
Zu einem beliebig vorgegeben
finden wir zuerst ein mit
Zu jeder reellen Zahl
in einem
halboffenen Intervall
gibt es ein eindeutiges
, ,
mit
da diese Intervalle eine
disjunkte Zerlegung
von bilden. Bei
kann man das als
finden. Das angegebene Rekursionsschema funktioniert auf diese Weise, d.h. mit
ist die linke Grenze des halboffenen Teilintervalls der Länge , in dem liegt. Die Zahl
gibt somit das Zehnfache des Abstands der Zahl von der linken Grenze des Teilintervalls an. Induktiv sieht man, dass eine natürliche Zahl zwischen und ist, dass
ist und dass
für jedes ist. Daher ist eine Ziffernentwicklung und es liegt eine
Intervallschachtelung
für vor, wobei die unteren Intervallgrenzen die durch die Ziffernentwicklung gegebenen Folgenglieder sind. Die zu dieser Ziffernentwicklung nach
Fakt
gehörige Zahl muss nach
Aufgabe
gleich sein.
Die im vorstehenden Satz formulierte Ziffernentwicklung nennt man auch die kanonische Ziffernentwicklung; sie ist in eindeutiger Weise einer reellen Zahl zugeordnet. Die Ziffernentwicklung
ist zwar eine erlaubte Ziffernentwicklung, aber keine kanonische Ziffernentwicklung. Die zugehörige reelle Zahl ist die , und deren kanonische Ziffernentwicklung ist
