Zyklische SL2 Operation/Ebene/Fundamentalgruppe/Beispiel

Wir betrachten die durch

$\delta \colon \mathbb {Z} ^{2}\longrightarrow \mathbb {Z} /(\ell )=:D$

mit

$\delta (e_{1})=1,\,\delta (e_{2})=\ell -1$

gegebene Graduierung auf ${}{\mathbb {C} }[U,V]$, die der linearen Operation der Matrizen

${\begin{pmatrix}\zeta ^{i}&0\\0&\zeta ^{-i}\end{pmatrix}},\,i=1,\ldots ,\ell -1$

zu einer ${}\ell$-ten primitiven Einheitswurzel ${}\zeta$ entspricht, vergleiche dazu auch Beispiel und Beispiel. Der Kern ist durch

${}\Gamma =\langle \ell e_{1},e_{1}+e_{2}\rangle \,$

und das Monoid durch

${}M=\langle \ell e_{1},\ell e_{2},e_{1}+e_{2}\rangle \,$

gegeben, der Invariantenring ist ${}{\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}$. Die Bedingungen von Bemerkung sind dabei erfüllt, es ist also ${}0\in {\mathbb {C} }^{2}$ der einzige Fixpunkt und die Operation auf ${}{\mathbb {C} }^{2}\setminus \{0\}$ ist fixpunktfrei. Daher kann man Fakt anwenden und erhält, dass die Fundamentalgruppe des punktierten Spektrum des Invariantenringes, also

$\operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},$

gleich ${}\mathbb {Z} /(\ell )$ ist. Ein erzeugendes Element der Fundamentalgruppe wird auf der Monoidebene (bzw. auf dem Differenzengitter) durch

$\gamma \colon \Gamma =\operatorname {kern} \delta \longrightarrow \mathbb {Z}$

mit

$\gamma (\ell e_{1})=1,\,\gamma (e_{1}+e_{2})=0{\text{ und }}\gamma (\ell e_{2})=-1$

gegeben. Dieser Homomorphismus lässt sich nicht nach ${}\mathbb {Z} ^{2}$ fortsetzen, allerdings lässt sich das ${}\ell$-fache davon fortsetzen. Auf der Ringebene entspricht dies dem ${}{\mathbb {C} }$-Algebrahomomorphismus

$\varphi \colon {\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\longrightarrow {\mathbb {C} }[T,T^{-1}]$

mit ${}\varphi (X)=T$, ${}\varphi (Y)=T^{-1}$ und ${}\varphi (Z)=1$, was wiederum der stetigen Abbildung

${\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/(XY-Z^{\ell })\right)}_{\mathbb {C} }=V{\left(XY-Z^{\ell }\right)},\,t\longmapsto (t,t^{-1},1),$

(bzw. ins punktierte Spektrum) entspricht. Somit ist

$[0,2\pi ]\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left({\mathbb {C} }[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{\ell }\right)}\right)}_{\mathbb {C} }\setminus \{P\},\,s\longmapsto \left(e^{{\mathrm {i} }s},\,e^{-{\mathrm {i} }s},\,1\right),$

ein Erzeuger der lokalen Fundamentalgruppe dieses Monoidringes.