Überlagerung/Decktransformationen/Übersicht/Textabschnitt
Definition
Es sei eine Überlagerung von . Ein Homöomorphismus mit heißt Decktransformation der Überlagerung.
Definition
Es sei eine Überlagerung von . Die Menge der Decktransformationen von über , versehen mit der Hintereinanderschaltung, heißt Decktransformationsgruppe der Überlagerung. Sie wird mit bezeichnet.
Beispiel
Zur Überlagerung
ist die Decktransformationsgruppe gleich der Gruppe der -ten komplexen Einheitswurzeln
siehe Fakt. Dabei wirkt eine Einheitswurzel durch die Multiplikation
als Decktransformation. Die Gesamtzuordnung
ist offenbar injektiv und ein Gruppenhomomorphismus. Bei einer beliebigen Decktransformation
ist eine -te Einheitswurzel. Daraus folgt mit Fakt.
Beispiel
Zur Überlagerung
ist die Decktransformationsgruppe gleich der Gruppe der ganzen Zahlen . Dabei wirkt durch die Addition
als Decktransformation. Dass es sich um eine Decktransformation handelt beruht auf den Periodizitätseigenschaften der komplexen Exponentialfunktion, siehe Fakt. Daraus ergibt sich auch, dass
ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Nach Fakt ist dies sogar ein Isomorphismus.
Lemma
Es sei eine Überlagerung. Dabei sei hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend.
Dann ist eine Decktransformation, die einen Fixpunkt besitzt, bereits die Identität.
Beweis
Es sei die Decktransformation. Wir betrachten die Menge , die nach Voraussetzung nicht leer ist. Wir zeigen, dass sie sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Wegen hausdorffsch ist die Fixpunktmenge nach Aufgabe abgeschlossen. Es sei ein Fixpunkt mit
Es sei eine offene Umgebung, worüber die Überlagerung trivialisiert. Wegen der Voraussetzung über den lokalen Wegzusammenhang können wir annehmen, dass wegzusammenhängend ist. Es sei die entsprechende offene Umgebung von . Dann ist und somit auch zusammenhängend und wegen ist bereits . Somit gilt für die Bedingung , also ist auf die Identität. Die Fixpunktmenge ist also auch offen. Aufgrund des Zusammenhangs von ist sie dann gleich ganz .