Überlagerung/Decktransformationen/Übersicht/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von ${}X$. Ein Homöomorphismus ${}f\colon Y\rightarrow Y$ mit  ${}p\circ f=p$  heißt Decktransformation der Überlagerung.

Definition

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung von ${}X$. Die Menge der Decktransformationen von ${}Y$ über ${}X$, versehen mit der Hintereinanderschaltung, heißt Decktransformationsgruppe der Überlagerung. Sie wird mit ${}\operatorname {Deck} {\left(Y{|}X\right)}$ bezeichnet.

Beispiel

Zur Überlagerung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto w^{n},$

ist die Decktransformationsgruppe gleich der Gruppe der ${}n$-ten komplexen Einheitswurzeln

${}E_{n}={\left\{\zeta \in {\mathbb {C} }\mid \zeta ^{n}=1\right\}}=\{e^{\frac {2\pi k{\mathrm {i} }}{n}}{|}\,k=0,\ldots ,n-1\}\,,$

siehe Fakt. Dabei wirkt eine Einheitswurzel ${}\zeta$ durch die Multiplikation

$\mu _{\zeta }\colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,z\longmapsto \zeta z,$

als Decktransformation. Die Gesamtzuordnung

$E_{n}\longrightarrow \operatorname {Deck} {\left({\mathbb {C} }^{\times }{|}{\mathbb {C} }^{\times }\right)}$

ist offenbar injektiv und ein Gruppenhomomorphismus. Bei einer beliebigen Decktransformation

$\theta \colon {\mathbb {C} }^{\times }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times }$

ist  ${}\zeta :=\theta (1)$  eine ${}n$-te Einheitswurzel. Daraus folgt  ${}\theta =\mu _{\zeta }$  mit Fakt.

Beispiel

Zur Überlagerung

$\exp \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }^{\times },\,w\longmapsto \exp w,$

ist die Decktransformationsgruppe gleich der Gruppe der ganzen Zahlen ${}\mathbb {Z}$. Dabei wirkt  ${}n\in \mathbb {Z}$  durch die Addition

${\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} },\,w\longmapsto w+n2\pi {\mathrm {i} },$

als Decktransformation. Dass es sich um eine Decktransformation handelt beruht auf den Periodizitätseigenschaften der komplexen Exponentialfunktion, siehe Fakt. Daraus ergibt sich auch, dass

$\mathbb {Z} \longrightarrow \operatorname {Deck} {\left({\mathbb {C} }{|}{\mathbb {C} }^{\times }\right)}$

ein injektiver Gruppenhomomorphismus ist. Nach Fakt ist dies sogar ein Isomorphismus.

Lemma

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Dabei sei ${}Y$ hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend.

Dann ist eine Decktransformation, die einen Fixpunkt besitzt, bereits die Identität.

Beweis

Es sei ${}\varphi$ die Decktransformation. Wir betrachten die Menge ${}{\left\{y\in Y\mid \varphi (y)=y\right\}}$, die nach Voraussetzung nicht leer ist. Wir zeigen, dass sie sowohl offen als auch abgeschlossen ist. Wegen ${}Y$ hausdorffsch ist die Fixpunktmenge nach Aufgabe abgeschlossen. Es sei  ${}y\in Y$  ein Fixpunkt mit

${}p(y)=x\,.$

Es sei  ${}x\in U$  eine offene Umgebung, worüber die Überlagerung trivialisiert. Wegen der Voraussetzung über den lokalen Wegzusammenhang können wir annehmen, dass ${}U$ wegzusammenhängend ist. Es sei  ${}y\in V$  die entsprechende offene Umgebung von ${}y$. Dann ist ${}V$ und somit auch ${}\varphi (V)$ zusammenhängend und wegen  ${}\varphi (y)=y\in V$  ist bereits  ${}\varphi (V)\subseteq V$.  Somit gilt für  ${}y'\in V$  die Bedingung  ${}\varphi (y')\in V\cap p^{-1}(p(y'))=\{y'\}$,  also ist ${}\varphi$ auf ${}V$ die Identität. Die Fixpunktmenge ist also auch offen. Aufgrund des Zusammenhangs von ${}Y$ ist sie dann gleich ganz ${}Y$.

$\Box$