Abbildungsfolge/Metrischer Raum/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Menge, ein metrischer Raum und

() eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge punktweise konvergiert, wenn für jedes die Folge

konvergiert.

Wenn eine punktweise konvergente Funktionenfolge vorliegt, so wird durch

eine sogenannte Grenzabbildung (oder Grenzfunktion) definiert. Selbst wenn sämtliche Funktionen stetig sind, muss diese Grenzabbildung nicht stetig sein. Dazu braucht man einen stärkeren Konvergenzbegriff.


Definition  

Es sei eine Menge, ein metrischer Raum und

() eine Folge von Abbildungen. Man sagt, dass die Abbildungsfolge gleichmäßig konvergiert, wenn es eine Abbildung

derart gibt, dass es zu jedem ein gibt mit


Beispiel  

Es sei und

Für jedes , , konvergiert die Folge gegen und für liegt die konstante Folge zum Wert vor. Die Grenzfunktion ist also

Diese Funktion ist nicht stetig, obwohl alle stetig sind.




Lemma  

Es seien und

metrische Räume und es sei

eine Folge von stetigen Abbildungen, die gleichmäßig gegen die Abbildung konvergiert.

Dann ist stetig.

Beweis  

Sei und vorgegeben. Aufgrund der gleichmäßigen Konvergenz gibt es ein mit für alle und alle . Wegen der Stetigkeit von in gibt es ein mit für alle mit . Für diese gilt somit