Affin-algebraische Gruppe/Schema/Hopf-Algebra/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Eine affin-algebraische Gruppe (über ${}K$) ist eine Gruppe ${}G$ der Form

${}G={\left(\operatorname {Spek} {\left(H\right)}\right)}(K)\,,$

wobei ${}H$ eine kommutative endlich erzeugte ${}K$-Hopf-Algebra ist.

Eine affin-algebraische Gruppe ist also die Menge der ${}K$-Punkte eines affinen Gruppenschemas von endlichem Typ. Dazu gehören die endlichen Gruppen, die additive Gruppe ${}(K,+,0)$, die multiplikative Gruppe ${}(K^{\times },\cdot ,1)$, die allgemeine lineare Gruppe, die spezielle lineare Gruppe.

Definition

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ die Gruppe der invertierbaren ${}n\times n$-Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$ nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).

Man kann zeigen, dass affin-algebraische Gruppen und lineare Gruppen äquivalente Konzepte sind. Das erste Konzept ist begrifflich stärker, während das zweite Konzept die typischen Beispiele abdeckt. Der Zusammenhang beruht im Wesentlichen auf der Hopf-Interpretation der allgemeinen linearen Gruppe, siehe Beispiel.

Wir reformulieren Definition für eine affin-algebraische Gruppe.

Definition

Zu einer affin-algebraischen Gruppe ${}G$ über einem Körper ${}K$, die durch die kommutative ${}K$-Hopf-Algebra ${}H$ gegeben sei, nennt man eine Operation von ${}G$ auf einer kommutativen ${}K$-Algebra ${}R$ algebraisch (oder regulär), wenn sie durch eine Kooperation von ${}H$ auf ${}R$ gegeben ist.