Affin-algebraische Gruppe/Schema/Hopf-Algebra/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Sei ein Körper. Eine affin-algebraische Gruppe (über ) ist eine Gruppe der Form

wobei eine kommutative endlich erzeugte -Hopf-Algebra ist.

Eine affin-algebraische Gruppe ist also die Menge der -Punkte eines affinen Gruppenschemas von endlichem Typ. Dazu gehören die endlichen Gruppen, die additive Gruppe , die multiplikative Gruppe , die allgemeine lineare Gruppe, die spezielle lineare Gruppe.


Definition  

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und die Gruppe der invertierbaren -Matrizen. Eine Zariski-abgeschlossene Untergruppe nennt man eine lineare Gruppe (oder eine linear-algebraische Gruppe).

Man kann zeigen, dass affin-algebraische Gruppen und lineare Gruppen äquivalente Konzepte sind. Das erste Konzept ist begrifflich stärker, während das zweite Konzept die typischen Beispiele abdeckt. Der Zusammenhang beruht im Wesentlichen auf der Hopf-Interpretation der allgemeinen linearen Gruppe, siehe Beispiel.

Wir reformulieren Definition für eine affin-algebraische Gruppe.


Definition  

Zu einer affin-algebraischen Gruppe über einem Körper , die durch die kommutative -Hopf-Algebra gegeben sei, nennt man eine Operation von auf einer kommutativen -Algebra algebraisch (oder regulär), wenn sie durch eine Kooperation von auf gegeben ist.