Algebraische Körpererweiterung/Einführung/Textabschnitt

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein Element. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}f$ ist algebraisch über ${}K$.
2. Es gibt ein normiertes Polynom ${}P\in K[X]$ mit ${}P(f)=0$.
3. Es besteht eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen

   $f^{0}=1,f^{1}=f,f^{2},f^{3},\ldots .$

4. Die von ${}f$ über ${}K$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]$ hat endliche ${}K$-Dimension.
5. ${}f$ liegt in einer endlichdimensionalen ${}K$-Algebra ${}M\subseteq L$.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$. Das ist trivial, da man ein von ${}0$ verschiedenes Polynom stets normieren kann, indem man durch den Leitkoeffizienten dividiert. ${}(2)\Rightarrow (3)$. Nach (2) gibt es ein Polynom ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, mit ${}P(f)=0$. Sei ${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$. Dann ist

${}P(f)=\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0\,$

eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen. ${}(3)\Rightarrow (1)$. Umgekehrt bedeutet die lineare Abhängigkeit, dass es Elemente ${}c_{i}$ gibt, die nicht alle ${}0$ sind mit ${}\sum _{i=0}^{n}c_{i}f^{i}=0$. Dies ist aber die Einsetzung ${}P(f)$ für das Polynom ${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}$, und dieses ist nicht das Nullpolynom. ${}(2)\Rightarrow (4)$. Sei

${}P=\sum _{i=0}^{n}c_{i}X^{i}\,$

ein normiertes Polynom mit ${}P(f)=0$, also mit

${}c_{n}=1\,.$

Dann kann man umstellen

${}f^{n}=-\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}f^{i}\,$

D.h. ${}f^{n}$ kann man durch kleinere Potenzen ausdrücken. Durch Multiplikation dieser Gleichung mit weiteren Potenzen von ${}f$ ergibt sich, dass man auch die höheren Potenzen durch die Potenzen ${}f^{i}$, ${}i\leq n-1$, ausdrücken kann. ${}(4)\Rightarrow (5)$. Das ist trivial. ${}(5)\Rightarrow (3)$. Wenn ${}f$ in einer endlichdimensionalen Algebra ${}M\subseteq L$ liegt, so liegen darin auch alle Potenzen von ${}f$. Da es in einem endlichdimensionalen Vektorraum keine unendliche Folge von linear unabhängigen Elementen geben kann, müssen diese Potenzen linear abhängig sein.

$\Box$

Satz

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element.

Dann ist die von ${}f$ erzeugte ${}K$-Algebra ${}K[f]\subseteq L$ ein Körper.

Beweis

Nach Fakt ist ${}M=K[f]$ eine endlichdimensionale ${}K$-Algebra. Wir müssen zeigen, dass ${}M$ ein Körper ist. Es sei dazu ${}g\in M$ ein von ${}0$ verschiedenes Element. Damit ist auch ${}K[g]\subseteq M=K[f]$, sodass ${}K[g]$ wieder eine endlichdimensionale Algebra ist. Daher ist, wiederum nach Fakt, das Element ${}g$ algebraisch über ${}K$ und es gibt ein Polynom ${}P\in K[X]$, ${}P\neq 0$, mit ${}P(g)=0$. Wir ziehen aus diesem Polynom die höchste Potenz von ${}X$ heraus und schreiben ${}P=QX^{k}$, wobei der konstante Term von ${}Q$ von ${}0$ verschieden sei. Die Ersetzung von ${}X$ durch ${}g$ ergibt

${}0=P(g)=Q(g)g^{k}\,.$

Da ${}g\neq 0$ ist und sich alles im Körper ${}L$ abspielt, folgt ${}Q(g)=0$. Wir können durch den konstanten Term von ${}Q$ dividieren und erhalten die Gleichung

${}1+c_{1}g+\cdots +c_{d}g^{d}=0\,.$

Umstellen ergibt

${}g{\left(-c_{1}g^{0}-\cdots -c_{d}g^{d-1}\right)}=1\,.$

Das heißt, dass das Inverse zu ${}g$ sich als Polynom in ${}g$ schreiben lässt und daher zu ${}K[g]$ und erst recht zu ${}K[f]$ gehört.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K\subseteq L$ eine Körpererweiterung und sei ${}f\in L$ ein algebraisches Element.

Dann stimmen die von ${}f$ über ${}K$ erzeugte Unteralgebra und der von ${}f$ über ${}K$ erzeugte Unterkörper überein.

Es gilt also ${}K[f]=K(f)$.

Beweis

Die Inklusion ${}K[f]\subseteq K(f)$ gilt immer, und nach Voraussetzung ist der Unterring ${}K[f]$ aufgrund von Fakt schon ein Körper.

$\Box$

Bemerkung  

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}P\in K[X]$ ein irreduzibles Polynom und ${}K\subseteq L=K[X]/(P)$ die zugehörige Körpererweiterung. Dann kann man zu ${}z=F(x)$, ${}z\neq 0$, (mit $F\in K[X],\,x={\overline {X}}$) auf folgende Art das Inverse ${}z^{-1}$ bestimmen. Es sind ${}P$ und ${}F$ teilerfremde Polynome in ${}K[X]$ und daher gibt es nach Fakt und Fakt eine Darstellung der ${}1$, die man mit Hilfe des euklidischen Algorithmus finden kann. Wenn ${}RF+SP=1$ ist, so ist die Restklasse von ${}R$, also ${}{\overline {R}}=R(x)$, das Inverse zu ${}{\overline {F}}=z$.