Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln/latex
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ (M,+,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \stichwort {additiv} {} geschriebene
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{.}
Man nennt $M$ einen
\definitionswortpraemath {R}{ Modul }{,}
wenn eine Operation
\maabbeledisp {} {R \times M } { M
} {(r,v)} { rv = r\cdot v
} {,}
\zusatzklammer {\stichwort {Skalarmultiplikation} {} genannt} {} {}
festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt
\zusatzklammer {dabei seien \mathlk{r,s \in R}{} und \mathlk{u,v \in M}{} beliebig} {} {:}
\aufzaehlungvier{
\mathl{r(su) = (rs) u}{,}
}{
\mathl{r(u+v) = (ru) + (rv)}{,}
}{
\mathl{(r+s)u = (ru)+ (su)}{,}
}{
\mathl{1u = u}{.}
}
}
\inputbeispiel{}
{
\aufzaehlungzwei {Jeder
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ ist ein
$K$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
} {Jede
\definitionsverweis {abelsche Gruppe}{}{}
$G$ ist ein $\Z$-Modul:
Die Abbildung
\maabbdisp {\cdot} {\Z \times G } { G
} {}
ist erklärt durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n \cdot g
}
{ = }{ g + g + \cdots + g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {$n$ Summanden} {} {}
für $n \in \N$, $g \in G$
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (-n)\cdot g
}
{ =} { -(n \cdot g)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Eine Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
heißt
\definitionswortpraemath {R}{ Untermodul }{,}
wenn sie eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von
\mathl{(M,0,+)}{} ist und wenn für jedes
\mathl{u \in U}{} und
\mathl{r \in R}{} auch
\mathl{ru \in U}{} ist.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.} Die \definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $R$ sind die \definitionsverweis {Ideale}{}{} von $R$. Dies liegt gerade daran, dass ein Ideal eine nichtleere Teilmenge von $R$ ist, die unter Addition und Multiplikation mit Elementen von $R$ abgeschlossen ist.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Eine Familie
\mathbed {v_i \in M} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
heißt \definitionswort {Erzeugendensystem}{} für $M$, wenn es für jedes Element
\mathl{v \in M}{} eine Darstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{v
}
{ =} { \sum_{i \in J} r_i v_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt, wobei
\mathl{J \subseteq I}{} endlich ist und
\mathl{r_i \in R}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Der Modul $M$ heißt \definitionswort {endlich erzeugt}{} oder \definitionswort {endlich}{,} wenn es ein
\definitionsverweis {endliches}{}{}
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
für ihn gibt
\zusatzklammer {also mit einer endlichen Indexmenge} {} {.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Eine Familie
\mathl{v_i\in M, i\in I}{,} heißt
\definitionswort {linear unabhängig}{,}
wenn für jede endliche Summe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i \in J} r_i v_i
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit $r_i\in R$ und $J \subseteq I$ endlich gilt, dass alle $r_i = 0$.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} Ein
\definitionsverweis {linear unabhängiges}{}{}
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} heißt eine
\definitionswort {Basis}{}
(oder genauer: eine \definitionswortpraemath {R}{ Basis }{)} von
\mathl{M}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$ ein $R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.} $M$ heißt \definitionswort {frei}{} \zusatzklammer {über $R$} {} {,} wenn er eine $R$-\definitionsverweis {Basis}{}{} besitzt.
}
\inputbeispiel{}
{
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $n \in \N$. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \Z/(n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
$\Z$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und wird von der $1 \in M$
\definitionsverweis {erzeugt}{}{.}
Allerdings gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n \cdot 1
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die Familie $(1)$ ist also bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
nicht linear unabhängig und keine
\definitionsverweis {Basis}{}{.}
Da auch für jeden anderen Erzeuger $\xi \in M$ gilt, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n \cdot \xi
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, ist $M$ als $\Z$-Modul nicht frei. Wenn man $M$ als
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
auffasst, so ist $M$ als Modul über sich selbst frei. Bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
$p$ liegt ein $\Z/(p)$-
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
vor.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring und $M$ ein \definitionsverweis {freier}{}{} $R$-Modul. Man nennt dann die \definitionsverweis {Kardinalität}{}{} einer \definitionsverweis {Basis}{}{} von M den \definitionswort {Rang}{} von $M$.
}
\inputdefinition
{}
{
Eine Teilmenge ${\mathfrak a}$ eines
\definitionsverweis {kommutativen Ringes}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {Ideal}{,} wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
\aufzaehlungdrei{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a+b
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ra
}
{ \in }{ {\mathfrak a}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
\inputdefinition
{}
{
Ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
${\mathfrak m}$ in einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$ heißt \definitionswort {maximales Ideal}{,} wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak m}
}
{ \neq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und wenn es zwischen ${\mathfrak m}$ und $R$ keine weiteren Ideale gibt.
} Die nächste Aussage ist wichtig, um die Wohldefiniertheit des Ranges eines Modul zu beweisen. Es wird sich hier allerdings damit begnügt, nur die Implikation zu zeigen, die wir später nutzen werden.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Ringtheorie/Ring modulo maximalem Ideal/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/{\mathfrak a}$ genau dann ein Körper, wenn ${\mathfrak a}$
\definitionsverweis {maximal}{}{}
in $R$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei ${\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {maximales Ideal}{}{}
in $R$.
Um zu zeigen, dass der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
$R/{\mathfrak a}$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
ist, muss zu jedem Element $x \in R/{\mathfrak a}, x\neq 0$ ein inverses Element $x^{-1}$ gefunden werden.
Die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ \defeq \{ f + r \cdot x{{|}} f \in {\mathfrak a}, r \in R \}} {}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
ist ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.
Weiterhin ist ${\mathfrak a} \subseteq K$ und aufgrund der Maximalität von ${\mathfrak a}$ ist also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Da $1 \in K$ ist, gibt es $f \in {\mathfrak a}$ und $s \in R$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1
}
{ = }{f + s \cdot x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist. Dies bedeutet, dass $s + {\mathfrak a}$ das multiplikative Inverse zu x ist. $R/{\mathfrak a}$ ist also ein Körper.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq M }{}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein
$R$-\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
von $M$. Dann wird auf der
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
$M/U$ eine skalare Multiplikation
\maabbeledisp {\cdot} {R \times { \left( M/U \right) }} {M/U
} {x + U} { \alpha { \left( x + U \right) }
} {}
durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \alpha (x+U)
}
{ \defeq }{(\alpha \cdot x) + U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definiert. Da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha \, U
}
{ \subseteq U }{}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ist, ist diese Definition wohldefiniert.
Dieser Modul wird der \definitionswort {Restklassenmodul}{} von $M$ nach $U$ genannt.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
\mathl{M_i, i \in I}{,} eine Familie von
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \prod_{i \in I} M_i
}
{ =} { { \left\{ (x_i)_{ i \in I} \mid x_i \in M_i \text{ für alle } i \in I \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Moduln wird mit komponentenweiser
\definitionsverweis {Addition}{}{}
und
\definitionsverweis {Skalarmultiplikation}{}{}
zum
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}
Das bedeutet für
\mathl{(x_i)_{ i \in I}, (y_i)_{ i \in I} \in M}{} und
\mathl{r\in R}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (x_i)_{ i \in I} + (y_i)_{ i \in I}
}
{ =} { (x_i+y_i)_{ i \in I}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ s(x_i)_{ i \in I}
}
{ =} { (sx_i)_{ i \in I}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
$M$ heißt dann das
\definitionswort {direkte Produkt}{}
der
\mathl{M_i, i\in I}{.} Das $I$-fache direkte Produkt eines Moduls $M$ mit sich selbst wird als
\mathl{M^I}{} geschrieben.
Der
\definitionsverweis {Untermodul}{}{}
\mathdisp {\bigoplus_{i\in I }M_i \subseteq \prod_{i \in I}M_i} { , }
der aus allen
\mathl{(x_i)_{i\in I }}{} besteht, für die
\mathl{x_i=0}{} für
\definitionsverweis {fast alle}{}{}
\mathl{i\in I}{} ist, heißt
\definitionswort {direkte Summe}{}
der $M_i$.
Die $I$-fache direkte Summe eines Moduls $M$ mit sich selbst wird als
\mathl{M^{(I)}}{} geschrieben.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Wohldefiniertheit des Ranges/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein freier
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für zwei
$R$-\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_m} {}
von $M$, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {Diesen Satz nennt man die Wohldefiniertheit des
\definitionsverweis {Ranges}{}{}
eines
\definitionsverweis {freien Moduls}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Da $R$ ein kommutativer Ring ist, gibt es nach Fakt ein maximales Ideal ${\mathfrak a}$ in $R$. Dementsprechend ist der Restklassenring $R/{\mathfrak a}$ nach Fakt ein Körper. Der Untermodul $M/{\mathfrak a}M$ wird dann zu einem $R/{\mathfrak a}$-Vektorraum.
$M$ hat als $R$-Modul die Basis $\mathfrak{ v }$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{ \bigoplus_{v \in \mathfrak{ v }} R v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dementsprechend ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a} M
}
{ = }{ \bigoplus_{v \in \mathfrak{ v } } {\mathfrak a}v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Hieraus folgt die Isomorphie
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ M/{\mathfrak a}M
}
{ =} { { \left( \bigoplus_{v \in \mathfrak{ v } } Rv \right) / \left( \bigoplus_{v \in \mathfrak{ v } } {\mathfrak a}v \right) }
}
{ \cong} { \bigoplus_{v \in \mathfrak{ v }} { \left( Rv \right) } / { \left( {\mathfrak a} v \right) }
}
{ \cong} { \bigoplus_{v \in \mathfrak{ v } } R / {\mathfrak a}
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
Somit hat $M/{\mathfrak a}M$ als $R/{\mathfrak a}$-Vektorraum eine Basis der Mächtigkeit von $\mathfrak{ v }$.
Da wir für Vektorräume wissen, dass je zwei Basen gleiche Kardinalität haben, folgt die Aussage.
\inputbeispiel{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{.}
Das Produkt
\mathl{R^n}{} ist ein
\definitionsverweis {endlicher}{}{,}
\definitionsverweis {freier}{}{}
\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$n$. Er besteht aus den $n$-Tupeln von Elementen aus $R$
\mathdisp {(r_1 , \ldots , r_n)} { . }
Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also
\mathdisp {(a_1,\ldots,a_n)+ (b_1,\ldots,b_n) = (a_1+b_1,\ldots,a_n+b_n)} { }
und
\mathdisp {s(a_1,\ldots,a_n) = (sa_1,\ldots,sa_n)} { . }
Eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von
\mathl{R^n}{} bilden die Elemente
\mathdisp {e_1 , \ldots , e_n} { , }
wobei
\mathl{e_i = (0 , \ldots , 0, 1, 0 , \ldots , 0}{} ) so definiert ist, dass an der $i$-ten Stelle des Tupels eine $1$ steht und alle anderen Koordinaten $0$ sind.
}
\zwischenueberschrift{Modulhomomorphismen}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$, $N$ zwei
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.} Eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\mathl{\varphi : M \rightarrow N}{} heißt
\definitionswortpraemath {R}{ (Modul-)homomorphismus }{,} wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.
\aufzaehlungzwei {
\mathl{\varphi(u+v)= \varphi(u) + \varphi(v)}{} für alle
\mathl{u,v \in M}{.}
} {
\mathl{\varphi( s v)=s \varphi(v)}{} für alle
\mathkor {} {s \in R} {und} {v \in M} {.}
}
Ein Modulhomomorphismus wird manchmal auch \definitionswort {lineare Abbildung}{} genannt.
Ein \definitionsverweis {bijektiver}{}{} Modulhomomorphismus heißt \definitionswort {(Modul-)isomorphismus}{.}
Wenn $M=N$ ist, dann heißt $\varphi$ ein \definitionswort {(Modul-)endomorphismus}{,} oder \definitionswort {linearer Operator}{,} im bijektiven Fall auch \definitionswort {(Modul-)automorphismus}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Erzeugendensystem/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$, $N$ zwei
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{.}
Es seien
\mathl{x_i, i\in I}{} ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $M$ und
\mathl{y_i, i\in I}{} Elemente aus $N$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es höchstens einen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\mathl{\varphi: M\rightarrow N}{,} für den
\mathdisp {\varphi(x_i) = y_i} { }
für alle
\mathl{i\in I}{} gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $u \in M$ mit der Darstellung
\mathdisp {u = \sum_{i\in J\subseteq I}a_ix_i} { . }
Für einen
\definitionsverweis {Homomorphismus}{}{} $\varphi$ mit
\mathl{\varphi(x_i) = y_i}{} für alle
\mathl{i\in I}{} gilt
\mathdisp {\varphi(u) = \varphi{ \left( \sum_{i\in J\subseteq I}a_ix_i \right) } = \sum_{i\in J\subseteq I}a_i\varphi(x_i) = \sum_{i\in J\subseteq I}a_iy_i} { . }
Dies legt $\varphi$ auf ganz $M$ fest.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modulhomomorphismus/Festlegung auf Basis/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$, $N$ zwei
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{,} wobei $M$
\definitionsverweis {frei}{}{} sei. Es seien
\mathl{x_i,i\in I}{,} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} von $M$ und
\mathl{y_i,i\in I}{,} Elemente aus $N$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es genau einen
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\mathl{\varphi:M\rightarrow N}{,} für den
\mathdisp {\varphi(x_i) = y_i} { }
für alle
\mathl{i\in I}{} gilt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir definieren $\varphi$ für ein
\mathl{u\in M}{} mit
\mathl{u = \sum_{i\in J\subseteq I} a_ix_i}{} als
\mathdisp {\varphi(u) = \sum_{i\in J\subseteq I} a_iy_i} { . }
Weil die
\mathl{x_i,i\in I}{,}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, gibt es nur eine einzige Darstellung für jedes
\mathl{u\in U}{,} deshalb ist $\varphi$ wohldefiniert.
Die Linearität überprüfen wir wie folgt.
Es seien zwei Modulelemente \mathkor {} {u= \sum_{i \in J\subseteq I} s_ix_i} {und} {v= \sum_{i \in K\subseteq I} t_ix_i} {} gegeben.
In dem wir weitere Summanden mit $s_i = 0$ bzw. $t_i=0$ hinzufügen können wir
\mathl{J=K}{} erreichen. Deshalb nehmen wir das gleich an.
Wir zeigen die Additivität von $\varphi$.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\varphi(u+v)
}
{ =} {\varphi{ \left( { \left( \sum_{i \in J\subseteq I} s_ix_i \right) } + { \left( \sum_{i \in J\subseteq I} t_ix_i \right) } \right) }
}
{ =} {\varphi{ \left( \sum_{i \in J\subseteq I} { \left( s_i + t_i \right) }x_i \right) }
}
{ =} {\sum_{i \in J\subseteq I} { \left( s_i + t_i \right) } \varphi(x_i)
}
{ =} {\sum_{i \in J\subseteq I} s_i \varphi(x_i) + \sum_{i \in J\subseteq I} t_i \varphi(x_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\varphi{ \left( \sum_{i \in J\subseteq I} s_ix_i \right) } + \varphi { \left( \sum_{i \in J\subseteq I} t_ix_i \right) }
}
{ =} {\varphi(u) +\varphi(v)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Wir zeigen die Verträglichkeit von $\varphi$ mit der skalaren Multiplikation.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\varphi(au)
}
{ =} {\varphi{ \left( a\sum_{i \in J\subseteq I} s_ix_i \right) }
}
{ =} {\varphi{ \left( \sum_{i \in J\subseteq I}{ \left( as_i \right) }x_i \right) }
}
{ =} {\sum_{i \in J\subseteq I} { \left( as_i \right) } \varphi(x_i)
}
{ =} {a\sum_{i \in J\subseteq I} s_i \varphi(x_i)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {a\varphi{ \left( \sum_{i \in J\subseteq I} s_ix_i \right) }
}
{ =} {a\varphi(u)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Dass dieses $\varphi$ der einzige Modulhomomorphismus ist, der die Voraussetzungen erfüllt, folgt aus Fakt.
\inputfakt{Kommutative Algebra/Modultheorie/Kern und Bild von Modulhomomorphismen und Matrizen/Beispiel}{Lemma}{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} $M$ und $N$
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} und
\mathl{\varphi:M\rightarrow N}{} ein
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.} Dann sind
\mathl{\operatorname{kern} \varphi}{} und
\mathl{\operatorname{bild} \varphi}{}
\definitionsverweis {Untermoduln}{}{} von $M$ bzw. $N$.
Denn seien
\mathl{u,v\in \operatorname{kern} \varphi}{} und
\mathl{r\in R}{,} dann gilt
\mathdisp {\varphi(u+v) = \varphi(u)+\varphi(v) = 0+0 = 0} { }
und
\mathdisp {\varphi(ru) = r\varphi(u) = r\cdot 0 = 0} { . }
Es seien nun
\mathl{x,y\in \operatorname{bild} \varphi}{} und
\mathl{r\in R}{.} Dann gibt es $u$, $v$ mit
\mathl{u \in\varphi^{-1}(x)}{} und
\mathl{v\in\varphi^{-1}(y)}{.} Es gilt
\mathdisp {\varphi(u+v) = \varphi(u)+\varphi(v) = x+y} { }
und
\mathdisp {\varphi(ru) = r\varphi(u) = rx} { . }
Zu einer
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
$A$ kann man über den durch die Matrix bezüglich einer
\definitionsverweis {Basis}{}{}
in $M$ und einem
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
in $N$
\definitionsverweis {beschriebenen}{}{}
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
genauso auch
\mathl{\operatorname{kern} A}{} und
\mathl{\operatorname{bild} A}{} als Untermoduln beschreiben.
Für
\mathl{\operatorname{bild} A}{} schreibt man auch oft
\mathl{AM}{,} sinnbildlich als den Untermodul, der aus allen Elementen besteht, die entstehen, wenn man an $A$ alle Elemente aus $M$ von rechts multipliziert.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein Ring und
\mathkor {} {I} {und} {J} {}
zwei Indexmengen. Eine
\definitionswortpraemath {I\times J}{ Matrix }{}
ist eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {I \times J} {R
} {(i,j)} {a_{ij}
} {.}
Bei
\mathl{I=\{1 , \ldots , m\}}{} und
\mathl{J=\{1 , \ldots , n \}}{} spricht man von einer
\definitionswortpraemath {m \times n}{ Matrix }{.}
In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11 } & a_{1 2} & \ldots & a_{1 n } \\
a_{21 } & a_{2 2} & \ldots & a_{2 n } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{ m 1 } & a_{ m 2 } & \ldots & a_{ m n } \end{pmatrix}} { . }
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $I$ eine Indexmenge. Dann ist der
\definitionswort {Matrizenring}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\operatorname{Mat}_{I}(R)
}
{ \defeq R^{I \times I}} {}
{ } {}
{ } {}
{ } {}
}
{}{}{}
die Menge der $I \times I$-
\definitionsverweis {Matrizen}{}{}
ausgestattet mit folgender komponentenweiser Addition und Matrizenmultiplikation:
\maabbeledisp {+} {\operatorname{Mat}_{I \times I} \times \operatorname{Mat}_{I \times I}} {\operatorname{Mat}_{I \times I}
} {((a_{ij})_{ij}), (b_{ij})_{ij})} {(a_{ij}+b_{ij})_{ij}
} {}
\maabbeledisp {\cdot} {\operatorname{Mat}_{I \times I} \times \operatorname{Mat}_{I \times I}} {\operatorname{Mat}_{I \times I}
} {((a_{ij})_{ij}), (b_{ij})_{ij})} { { \left( \sum_{k \in I} a_{ik} \cdot b_{kj} \right) } _{ij}
} {.}
Im Fall
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{I
}
{ = }{\{ 1 , \ldots , n \}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird auch $\operatorname{Mat}_n(R)$ geschrieben.
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $\operatorname{Mat}_{I}(R)$ der
\definitionsverweis {Matrizenring}{}{.}
Eine Matrix $A \in \operatorname{Mat}_{I}(R)$ heißt
\definitionswort {invertierbar}{,}
falls es eine weitere Matrix $B \in \operatorname{Mat}_{I}(R)$ gibt, mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \cdot B
}
{ =} {B \cdot A
}
{ =} {E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputfakt{Kommutative Algebra/Modultheorie/Matrix zu Homomorphismus und umgekehrt/Definition}{Lemma}{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{} und $M$, $N$ zwei
\definitionsverweis {endliche}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{} mit den
\definitionsverweis {Erzeugendensystemen}{}{}
\mathl{x_1,\ldots,x_m}{} und
\mathl{y_1,\ldots,y_n}{.}
Zu einem
\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {M} {N
} {} heißt eine
\mathl{n \times m}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {M = (a_{ij})_{ij}} { }
wobei
\mathl{a_{ij}}{} die $i$-te Komponente von
\mathl{\varphi(x_j )}{} bezüglich einer Darstellung
\mathl{\varphi(x_j) = a_{1j}y_1+\cdots+a_{nj}y_n}{} im Erzeugendensystem
\mathl{y_1,\ldots,y_n}{} ist, eine \definitionswort {beschreibende Matrix zu}{} $\varphi$ bezüglich der Erzeugendensysteme.
Wenn zudem
\mathl{x_1,\ldots,x_n}{}
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} ist, also eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} ist, dann heißt zu einer Matrix
\mathl{M =(a_{ij})_{ij} \in \operatorname{Mat}_{ n \times m } (R)}{} der durch
\mathdisp {x_j \mapsto \sum_{ i = 1 }^{ n } a_{ij} y_i} { }
gemäß
Fakt
definierte Modulhomomorphismus
\mathl{\varphi(M)}{} der \definitionswort {durch}{} $M$ \definitionswort {festgelegte Modulhomomorphismus}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $M$ ein
$R$-\definitionsverweis {freier Modul}{}{.}
Zu einer
$R$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
$\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n$ von $M$ und $m \in M$ ist der \definitionswort {Koordinatenvektor}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{(x_1 , \ldots , x_n) \in R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der eindeutige Vektor mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n x_i v_i
}
{ =} { m
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
$M$
ein
\definitionsverweis {freier}{}{}
$R$-\definitionsverweis {Modul}{}{}
mit
\definitionsverweis {Rang}{}{}
$n$. Es seien
\mathkor {} {\mathfrak{ v } = v_1 , \ldots , v_n} {und} {\mathfrak{ w } = w_1 , \ldots , w_n} {}
zwei
\definitionsverweis {Basen}{}{}
von $M$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ v_j
}
{ =} { \sum_{ i = 1 }^{ n } c_{ij} w_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit den Koeffizienten
\mathl{c_{ij} \in K}{.} Dann nennt man die
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }
}
{ = }{(c_{ij})_{ij}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die \definitionswort {Übergangsmatrix}{} zum Basiswechsel von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ w }$.
Die $j$-te Spalte von $M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }$ ist der
\definitionsverweis {Koordinatenvektor}{}{}
von $v_j$ bezüglich $\mathfrak{ w }$.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Surjektiver Modulhomomorphismus/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $M$ und
\mathl{N}{}
\definitionsverweis {Moduln}{}{}
über einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
\mathl{R}{}
und
\maabb {f} {M} {N
} {}
ein
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind äquivalent:
\aufzaehlungzwei {$f$ ist
\definitionsverweis {surjektiv}{}{.}
} {f bildet jedes
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $M$ auf eines von $N$ ab.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
$(1) \Rightarrow (2)$ Sei \maabb {f} {M} {N } {} \definitionsverweis {surjektiv}{}{} und $(x_i)_{i\in I}$ ein Erzeugendensystem von $M$.
Dann gibt es zu jedem $n \in N$ ein $m \in M$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(m)
}
{ = }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Es sei nun
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{\sum_{i \in I} \lambda_i \cdot x_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
daraus ergibt sich:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(m)
}
{ =} { f { \left( \sum_{i \in I} \lambda_i \cdot x_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} f { \left( \lambda_i \cdot x_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i \in I} \lambda_i \cdot f(x_i)
}
{ =} { n
}
}
{}
{}{.}
$f(x_i)_{i \in I}$ ist also wie behauptet ein Erzeugendensystem von $N$.
$(2)\Rightarrow (1)$ Es sei $(x_i)_{i \in I}$ ein Erzeugendensystem von $M$, $(f(x_i))_{i \in I}$ eines von $N$ und $n \in N$.
Dann gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ = }{\sum_{i \in I} \lambda_i \cdot (f(x_i))
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{m
}
{ = }{\sum_{i \in I} \lambda_i \cdot x_i \in M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(m)
}
{ = }{n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
$f$ ist also surjektiv.
\zwischenueberschrift{Die Determinante eines Endomorphismus}
Von nun wird untersucht, wann ein Modulendomorphismus injektiv bzw. surjektiv ist. Hierzu wird wie bei dem bekannten Fall über Körpern eine Funktion, die Determinante definiert, die für eine Matrix und ihrem zugehörigen Endomorphismus eine solche Interpretation einfach zulässt. Die Indexmenge $I$ wird von nun an aus Gründen der Einfachheit halber zumeist die ersten n natürlichen Zahlen sein. Es ist Wissen über die \definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{} nötig, das sich hier : Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 18 angeeignet werden kann.
\inputdefinition
{}
{
Es seien $M$ und $N$ Moduln über dem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{,}
\mathl{n \in \N}{} und
\maabbdisp {\triangle} {M^n = \underbrace{M \times \cdots \times M}_{n\text{-mal} } } {N
} {}
eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{.}
Man nennt $\triangle$ \definitionswort {multilinear}{,} wenn für jedes
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} und jedes $(n-1)$-Tupel
\mathdisp {(v_1 , \ldots , v_{i-1} , v_{i+1} , \ldots , v_n)} { }
die induzierte Abbildung
\maabbeledisp {} {M} {N
} {u} { \triangle ( v_1 , \ldots , v_{i-1} , u, v_{i+1} , \ldots , v_n )
} {,}
ein
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{}
ist.
Der Modul der multilinearen Abbildungen wird mit $\operatorname{Mult}_R(M^n;N)$ bezeichnet.
Eine multilineare Abbildung $\triangle$ heißt \definitionswort {alternierend}{,} wenn folgendes gilt: Falls in
\mathl{v= (v_1 , \ldots , v_{ n })}{} zwei Einträge übereinstimmen, also
\mathl{v_i=v_j}{} für ein Paar
\mathl{i \neq j}{,} so ist
\mathl{\triangle (v)=0}{.}
Der Untermodul der alternierenden Abbildungen wird mit $\operatorname{Alt}_R(M^n;N)$ bezeichnet.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Multilineare Abbildung/Distributivgesetz/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$
ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$M$ und $N$ seien
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{,}
$I$ eine endliche Indexmenge,
\maabb {\Phi} {M^I} {N
} {}
sei
\definitionsverweis {multilinear}{}{.}
Weiter sei $(x_j)_{j \in J} \in M$.}
\faktfolgerung {Dann gilt für jede Linearkombination $\sum_{j \in J} a_{j,i} \cdot x_j, i \in I$ mit $a_{j,i} \in A$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi \left( \left( \sum_{j \in J} a_{j,i} \cdot x_j \right) _{i \in I} \right)
}
{ =} {\sum_{j_{i} \in J^I} \left( \left( \prod_{i \in I} a_{j,i} \right) \Phi ((x_{j_i})_{i \in I}) \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Für $i_0 \in I$ ist $\Phi$ linear in der $i_0$-ten Komponente von $\sum_{j \in J} a_{j,i} \cdot x_j , i \in I$.
Daraus folgt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi \left( \left( \sum_{j \in J} a_{j,i} \cdot x_j \right) _{i \in I} \right)
}
{ =} {\sum_{k \in J} \Phi (f(i)_{i \in I})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
mit
\mathdisp {(f(i))_{i \in I}= \begin{cases} \sum_{j \in J} a_{j,i} \cdot x_j , \text{ falls } i \neq i_0, \\ a_{k,i_0} \cdot x_k,\, \text{ falls } i = i_0 \, . \end{cases}} { }
Wiederholtes Anwenden dieses Schrittes auf die endlich vielen Komponenten ergibt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi \left( \left( \sum_{j \in J} a_{j,i} \cdot x_j \right) _{i \in I} \right)
}
{ =} {\sum ... \sum \Phi ( a_{j', i'} \cdot x_{j'})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei es für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
einmal summiert wird, was wiederum bedeutet:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi { \left( { \left( \sum_{j \in J} a_{j,i} \cdot x_j \right) }_{i \in I} \right) }
}
{ =} {\sum_{j_{i} \in J^I} { \left( { \left( \prod_{i \in I} a_{j,i} \right) } \Phi ((x_{j_i})_{i \in I}) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
denn die $a_{j,i}$ können aufgrund der Multilinearität jeweils aus den Komponenten herausgezogen werden.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Alternierend/Eigenschaften/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es seien $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$M$ und $N$
$R$-\definitionsverweis {Moduln}{}{,}
\maabb {\Phi} {M^n} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {multilineare, alternierende}{}{}
\definitionsverweis {Abbildung}{}{,}
$\alpha \in R$ und $r, s \in \{1, ..., n\}$.}
\faktfolgerung {Dann hat $\Phi$ folgende Eigenschaften:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi(v_1 , \ldots , v_r , \ldots , v_s , \ldots , v_n)
}
{ =} { - \Phi(v_1 , \ldots , v_s , \ldots , v_r , \ldots , v_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi(v_1 , \ldots , v_r , \ldots , v_s , \ldots , v_n)
}
{ =} { \Phi(v_1 , \ldots , v_r + \alpha v_s , \ldots , v_s , \ldots , v_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
Falls $v_r$ sich als Linearkombination von $(v_i)_{i \in \{1, ..., n\} \setminus \{ r \} }$ schreiben lässt, so ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi (v_1 , \ldots , v_r , \ldots , v_n)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu Teil 1: Aufgrund der Definition von
\definitionsverweis {alternierend}{}{}
gilt:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{0
}
{ =} {\Phi (v_1 , \ldots , v_r +v_s, \ldots , v_r + v_s , \ldots , v_n )
}
{ =} { \Phi (v_1 , \ldots , v_r , \ldots , v_s , \ldots , v_n ) + \Phi(v_1 , \ldots , v_s , \ldots , v_r , \ldots , v_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Zu Teil 2: Da $\triangle$
\definitionsverweis {multilinear}{}{}
ist, ist es linear in der r-ten Komponente:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \Phi (v_r \mapsto v_r + ( \alpha \cdot v_s ))
}
{ =} { \Phi (v_1 , \ldots , v_r , \ldots , v_s , \ldots , v_n ) + \Phi (v_1 , \ldots , \alpha \cdot v_s , \ldots , v_s , \ldots , v_n)
}
{ =} { \Phi (v_1 , \ldots , v_r , \ldots , v_s , \ldots , v_n ) + \alpha \cdot \underbrace{\Phi ( v_1 , \ldots , v_s , \ldots , v_s , \ldots , v_n)}_{=0}
}
{ =} { \Phi (v_1 , \ldots , v_r , \ldots , v_s , \ldots , v_n )
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Zu Teil 3: Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_j
}
{ = }{\sum_{i=1, i \neq j}^n \lambda_i \cdot v_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Phi (v_1 , \ldots , v_{j-1}, v_j, v_{j+1} , \ldots ,, v_n)
}
{ =} {\sum_{i=1 \atop i \neq j}^n \lambda_i \cdot \Phi (v_1 , \ldots , v_{j-1}, v_i , v_{j+1} , \ldots ,, v_n)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Alternierende Abbildung/Permutationen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es seien
\maabb {\psi} {M^n} {N
} {}
eine
\definitionsverweis {alternierende}{}{}
Abbildung, $x_1 , \ldots , x_n \in M$ und $\sigma \in S_n$, der
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
der Menge $\{1 , \ldots , n\}$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi (x_{\sigma(1)}, \ldots , x_{\sigma(n)})
}
{ =} {\operatorname{sgn}( \sigma ) \cdot \psi (x_1 , \ldots , x_n )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Fakt
lässt sich $\sigma$ als Produkt von
\definitionsverweis {Transpositionen}{}{}
$\tau_1 , \ldots , \tau_k$
schreiben:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma
}
{ = }{ \prod_{i = 1}^k \tau_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
In
Fakt
wurde bereits gezeigt, dass für Transpositionen $\tau \in S_n$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi( x_{\tau(1)} , \ldots , x_{\tau(n)})
}
{ =} {- \psi (x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} {sgn(\tau) \cdot \psi (x_1 , \ldots , x_n)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
Das führt für $\sigma$ durch induktives Anwenden zu folgendem Ergebnis:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\psi(x_{\sigma(1)}, \ldots , x_{\sigma(n)})
}
{ =} { \psi(x_{\tau_1 \circ ... \circ \tau_k (1)} , \ldots , x_{\tau_1 \circ ... \circ \tau_k (n)})
}
{ =} {\operatorname{sgn}(\tau_1) \cdot \psi(x_{\tau_2 \circ ... \circ \tau_k (1)} , \ldots , x_{\tau_2 \circ ... \circ \tau_k (n)})
}
{ =} { \prod_{i = 1}^k \operatorname{sgn}(\tau_i) \cdot \psi (x_1, \ldots , x_n)
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Mit
Fakt
ergibt sich
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\prod_{i =1}^k sgn(\tau_i)
}
{ = }{(-1)^k
}
{ = }{sgn(\sigma)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und damit die Aussage.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Alternierend aus Multilinear/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\maabb {\Psi} {M^n} {N
} {}eine
\definitionsverweis {multilineare}{}{}
Abbildung.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathdisp {\sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \cdot \Psi \circ \sigma} { }
\definitionsverweis {alternierend}{}{.}}
\faktzusatz {Mit folgender Interpretation von $\Psi \circ \sigma$
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(\Psi \circ \sigma ) (x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} {\Psi (x_{\sigma(1)} , \ldots , x_{\sigma(n)})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $x_1 , \ldots , x_n \in M^n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_r
}
{ = }{x_s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ \neq s }{}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}
Es ist zu zeigen, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sum_{\sigma \in S_n} \operatorname{sgn}(\sigma ) \cdot \Psi (x_{\sigma (1)}, ...,x_{\sigma(n)})
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Es sei hierzu $\tau$ die
\definitionsverweis {Transposition}{}{,}
die $r$ und $s$ tauscht.
Durch $\pi \mapsto \pi \circ \tau$ wird eine bijektive Abblidung von der \definitionsverweis {alternierenden Gruppe}{}{} $A_n$ nach $S_n \setminus A_n$ definiert.
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\sum_{\sigma \in S_n} \Psi (x_{\sigma (1)}, ...,x_{\sigma(n)})
}
{ =} {\sum_{\sigma \in A_n} \Psi (x_{\sigma (1)}, ...,x_{\sigma(n)}) - \sum_{\sigma \in S_n \setminus A_n} \Psi (x_{\sigma (1)}, ...,x_{\sigma(n)})
}
{ =} {\sum_{\sigma \in A_n} \Psi (x_{\sigma (1)}, ...,x_{\sigma(n)}) - \sum_{\sigma \in A_n} \Psi (x_{\sigma (\tau (1)}, ...,x_{\sigma (\tau (n))})
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
da
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_{\sigma (\tau (r))}
}
{ = }{x_{\sigma(s)}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x_r
}
{ = }{x_s
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, sind die beiden Summen identisch.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Isomorphie zwischen Grundring und Raum der alternierenden Abbildungen/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
$M$ sei ein
\definitionsverweis {freier Modul}{}{}
über $R$ mit Basis $(x_i)_{i \in \{ 1, ..., n\} }$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\operatorname{Alt}_R(M^n,N)
}
{ \cong R }{}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Das heißt, dass der
$R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{,}
der durch
\maabbeledisp {\phi} {\operatorname{Alt}_R(M^n,R)} {R
} {\Psi} {\Psi ((x_i)_{i \in \{ 1, ..., n\} })
} {}
gegeben ist,
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
}
{
$\phi$ ist klarerweise ein $R$-\definitionsverweis {Modulhomomorphismus}{}{.}
Aus Fakt ergibt sich, dass $\Psi$ bereits durch die die Werte auf den Basiselementen $(x_i)_{i \in \{ 1, ..., n\} }$ festgelegt, also injektiv ist.
Um die Surjektivität zu zeigen muss eine Abbildung $\triangle \in Alt_R(M^n,R)$ gefunden werden, mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\triangle ((x_i)_{i \in \{ 1, ..., n\} })
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
Es bietet sich die multilineare Abbildung $\pi \colon ((x_i)_{i \in I}) \mapsto \prod_i f(i) \cdot x_i$, mit $f(i):= x_i^*$, an.
Diese ist allerdings im Gegensatz zu folgender Abbildung $\triangle$ nicht alternierend:
\mathdisp {\triangle ((x_i)_{i \in \{ 1, ..., n\} }) = \sum_{\sigma \in S_n} sgn( \sigma ) \pi \circ \sigma} { , }
die Alterniertheit ergibt sich aus
Fakt.
Für $\triangle$ gilt weiterhin $\triangle ((x_i)_{i \in I}) = 1$.
Zu $r \in R$ ist $r \cdot \triangle \in Alt_R(I,M,R)$ ein Urbild, $\phi$ ist surjektiv und letztendlich ein Isomorphismus.
\inputdefinition
{}
{
Es seien $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
$n \in \N$.
Dann ist die
\definitionswort {Determinante}{}
$(det)$ einer Matrix $A = (a_{ij})_{ij} \in Mat_{n \times n}(R)$ definiert durch:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{det(A)
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{i, \sigma (i)}
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{\sigma (i), i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputbemerkung
{}
{
Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{i, \sigma (i)}
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{\sigma (i), i}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dies ergibt sich aus
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{i, \sigma (i)}
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma^{-1}) \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{\sigma^{-1}(i), i}
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \cdot \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{\sigma (i), i}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Eigenschaften der Determinante/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $\operatorname{det}$ die soeben definierte
\definitionsverweis {Determinante}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\operatorname{det}$ die einzige Abbildung aus $\operatorname{Alt}_R(M^n,R)$ mit $\operatorname{det}(E_n) = 1$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei zunächst $f \colon R^n \times \ ... \ \times R^n \to R$ eine andere Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften:
Die Zeilen der Einheitsmatrix $E_n$ sind die im \definitionsverweis {Beispiel}{}{} definierten Basislemente des $R^n$.
Zu $a \in R^n$ ist $a = \sum_{j=1}^{n} (a)_{j} \cdot e_j$, dementsprechend ist zu $(a_i)_{i \in \{1, ..., n\} } \ a_i = \sum_{j=1}^n (a_i)_j e_j$
Dann gilt nach
Fakt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(a_1 , \ldots , a_n)
}
{ =} {\sum_{(j_1 , \ldots , j_n) \in \{1, ..., n\} ^n} (a_1)_{j_1} \cdot ... \cdot (a_n)_{j_n} \cdot f(e_{j_1}, ..., e_{j_n})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{f(a_1 , \ldots , a_n)
}
{ =} {\sum_{j_1 , \ldots , j_n}^n (a_1)_{j_1} \cdot ... \cdot (a_n)_{j_n} \cdot f(e_{j_1}, ..., e_{j_n})
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} (a_1)_{\sigma (1)} \cdot ... \cdot (a_n)_{\sigma (n)} \cdot f(e_{j_1}, ..., e_{j_n})
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} (a_1)_{\sigma (1)} \cdot ... \cdot (a_n)_{\sigma (n)} \cdot sgn(\sigma)f(e_1, ..., e_n)
}
{ =} {det(A)
}
}
{}
{}{.}
Nun wird gezeigt, dass $det$ \definitionsverweis {multilinear und alternierend}{}{} ist:
Um die Multilinearität von $det = \sum_{\sigma \in S_n} \prod_{i \in \{1, ..., n\} } a_{i, \sigma(i)}$ zu zeigen, genügt es für $\sigma \in S_n$ die Multilinearität von $\prod_{i \in \{ 1, ..., n \} }a_{i, \sigma(i)}$ zu zeigen (Die Menge der multilinearen Abbildungen bilden einen Modul).
Die Multilinearität folgt daraus, dass die Multiplikation multilinear und das Auswählen einer Komponente R-linear sind.
Die Alterniertheit von $det$ ergibt sich aus direkt aus Fakt.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Rechenregeln zur Determinante/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Es sei $det$ die
\definitionsverweis {Determinantenfunktion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gelten folgende Aussagen:
Für $\lambda \in R$ ist $\operatorname{det}(\lambda A) = \lambda^n \operatorname{det}(A)$.
Ist eine Zeile oder Spalte von A gleich 0, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\operatorname{det}(A)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Tauscht man eine Zeile oder Spalte von A so ist die Determinante der neuen Matrix $-\operatorname{det}(A)$.
Das Addieren des $\lambda$-fachen einer Zeile/Spalte auf eine andere Zeile/Spalte ändert die Determinante nicht.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Aussage ergibt sich direkt daraus, dass die Determinante multilinear und alternierend in Zeilen und Spalten ist.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Multiplikativität der Determinante/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A, B \in R^{n \times n}$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det A \cdot B
}
{ =} { \det A \cdot \det B
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{det(A) det(B)
}
{ =} { { \left( \sum_{\sigma \in S_n} sgn(\sigma) \prod_{i =1}^n a_{i,\sigma (i)} \right) } \cdot { \left( \sum_{\tau \in S_n} sgn(\tau) \prod_{j =1}^n b_{j,\tau(j)} \right) }
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} \sum_{\tau \in S_n} sgn(\sigma) sgn(\tau) \prod_{i =1}^n a_{i, \sigma (i)} b_{i, \tau (i)}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
da für $\tau, \sigma \in S_n \colon \tau \mapsto \tau \circ \sigma := \lambda$
\definitionsverweis {bijektiv}{}{}
ist ergibt sich:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\sum_{\sigma \in S_n} \sum_{\tau \in S_n} sgn(\sigma) sgn(\tau) \prod_{i =1}^n a_{i, \sigma (i)} b_{i, \tau (i)}
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} \sum_{\tau \in S_n} sgn(\sigma) sgn(\tau) \prod_{i =1}^n a_{i, \sigma (i)} b_{\sigma (i), \tau \circ \sigma (i)}
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} \sum_{\lambda \in S_n} sgn(\lambda) \prod_{i =1}^n a_{i, \sigma (i)} b_{\sigma (i), \lambda (i)}
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Andererseits ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{det(A \cdot B)
}
{ =} {\sum_{\lambda \in S_n} sgn(\lambda) \prod_{i =1}^n (\sum_{j =1}^n a_{ij} b_{j \lambda_j} )
}
{ =} {\sum_{\lambda \in S_n} sgn(\lambda) \sum_{j_i} (\prod_{i =1}^n a_{i, j_i} b_{j_i, \lambda(i)}
}
{ =} {\sum_{j_i} \sum_{\lambda \in S_n} sgn(\lambda) \prod_{i =1}^n a_{i, j_i} b_{j_i, \lambda(i)}
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
wobei $j, i \in \{ 1, ..., n \}$ und $j_i \in \{1, ..., n\}^n$ alle möglichen Kombinationen durchgeht.
Sind in $j_i$ zwei Komponenten gleich, so ist:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{\sum_{\lambda \in S_n} sgn(\lambda) \prod_{i =1}^n a_{i, j_i} b_{j_i, \lambda(i)}
}
{ =} { \prod_{i =1}^n a_{i, j_i} \sum_{\lambda \in S_n} sgn(\lambda) \prod_{i =1}^n b_{j_i, \lambda(i)}
}
{ =} { \prod_{i =1}^n a_{i, j_i} det(b_{j_i, s})_{s \in \{1, ... ,n\} }
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
}
{}
{}{,}
denn in $b_{j_i, s}$ sind zwei Zeilen gleich.
Und somit letztendlich:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{det(A \cdot B)
}
{ =} {\sum_{\lambda \in S_n} sgn(\lambda) \prod_{i =1}^n a_{i, j_i} b_{j_i, \lambda(i)}
}
{ =} {\sum_{\sigma \in S_n} \sum_{\lambda \in S_n} sgn(\lambda) \prod_{i =1}^n a_{i, \sigma (i)} b_{\sigma (i), \lambda (i)}
}
{ =} {det(A) \cdot det(B)
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Das Ziel ist es zu zeigen, dass eine Matrix genau dann
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist, wenn ihre Determinante eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in R ist. Durch die Multiplikativität der Determinante kann die erste Implikation gezeigt werden. Später wird dann auch die andere Implikation gezeigt.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Determinante von invertierbare Matrizen/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A \in \operatorname{Mat}_{n}(R)$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $\operatorname{det}(A)$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $R$, weiterhin ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\operatorname{det}(A)^{-1}
}
{ = }{\operatorname{det}(A^{-1})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei $A^{-1} \in R^{n \times n}$ die Matrix mit der Eigenschaft, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \cdot A^{-1}
}
{ =} {A^{-1} \cdot A
}
{ =} {E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
Es gilt:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{1
}
{ =} {\operatorname{det}(E_n)
}
{ =} {\operatorname{det}(A \cdot A^{-1})
}
{ =} {\operatorname{det}(A) \cdot \operatorname{det}(A^{-1})
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist $\operatorname{det}(A^{-1}) \in R$ das Inversezu $\operatorname{det}(A)$.
$\operatorname{det(A)}$ ist also eine Einheit.
\inputdefinition
{}
{
Zu $A \in R^{n \times n}$ heißt die Matrix $A_{ij} \in R^{n-1 \times n-1}$, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix $A$ entsteht, die \definitionswort {Streichungsmatrix}{} zum Index i, j.
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Entwicklungssatz/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und
$A \in R^{n \times n}$.}
\faktfolgerung {Dann lässt sich $det(A)$ für $1 \le j \le n$ wie folgt rekursiv berechnen:
\mathdisp {det(A) = \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+j} a_{ij} det(A_{ij}) = \sum_{i = 1}^n (-1)^{i+j} a_{ji} det(A_{ji})} { . }
}
\faktzusatz {Dieses Verfahren zur Berechnung der Determinante nennt man Entwickeln nach der $j$-ten Spalte bzw. Zeile.}
\faktzusatz {}
}
{
Der Beweis des Entwicklungssatzes erfolgt ähnlich wie über Körpern. Ein möglicher Beweis ist hier: Fakt.
\inputdefinition
{}
{
Zu $A \in R^{n \times n}$ heißt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{ij}'
}
{ =} {(-1)^{i+j} det(A_{ij})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der
\definitionswort {Kofaktor}{} von $A$ an der Stelle $(i,j)$.
}
\inputdefinition
{}
{
Zu $A \in R^{n \times n}$ heißt die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Adj(A)
}
{ =} {((a_{i,j}')_{1 \le ,i,j \le n})^{tr}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die zu $A$
\definitionswort {adjungierte Matrix}{} .
}
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Adjungierte Matrix/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A \in R^{n \times n}$.
Weiter sei $Adj(A)$ die zu $A$
\definitionsverweis {adjungierte Matrix}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Adj(A) \cdot A
}
{ =} {A \cdot Adj(A)
}
{ =} {E_n \cdot det(A)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Um die Gleichheit zu zeigen werden die Einträge von $Adj(A) \cdot A$ berechnet:
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{(Adj(A) \cdot A)_{ik}
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n Adj(A)_{ij} \cdot a_{jk}
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n a_{jk} \cdot \operatorname{det}(A_{ji})
}
{ =} {\sum_{j = 1}^n a_{jk} \cdot \operatorname{det}(a_1 , \ldots , a_{i-1}, e_j, a_{i+1} , \ldots , a_n )
}
{ =} {\operatorname{det}(a_1 , \ldots , a_{i-1}, \sum_{j = 1}^n a_{jk} e_j, a_{i+1} , \ldots , a_n)
}
}
{
\vergleichskettefortsetzungalign
{ =} {\operatorname{det}(a_1 , \ldots , a_{i-1}, a_k, a_{i+1} , \ldots , a_n)
}
{ =} {\delta_{ik} det(A)
}
{ } {}
{ } {}
}
{}{.}
Es ist also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Adj(A) \cdot A
}
{ =} {\operatorname{det}(A) \cdot E_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die umgekehrte Richtung ergibt sich aus einer ähnlichen Rechnung.
\inputfaktbeweis
{Kommutative Algebra/Modultheorie/Determinante invertierbarer Matrizen Äquivalenz/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und $A \in \operatorname{Mat}_n(R)$.}
\faktfolgerung {Dann sind äquivalent
\aufzaehlungzwei {$A$ ist eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{.}
} {$\operatorname{det}(A)$ ist eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $R$.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
(1) $\Rightarrow$ (2) wurde bereits in Fakt bewiesen.
(2) $\Rightarrow$ (1) Da $\operatorname{det}(A)$ eine \definitionsverweis {Einheit}{}{} in $R$ ist, gibt es ein $y \in R$ mit der Eigenschaft $\operatorname{det}(A)y = 1$.
Die Matrix
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A^{-1}
}
{ \defeq \operatorname{Adj}(A) y }{}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
erfüllt nach
Fakt
die Eigenschaft, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A \cdot A
}
{ = }{E_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei. Dies ergibt sich aus:
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{A \cdot A^{-1}
}
{ =} {A \cdot (Adj(A) y)
}
{ =} {(A \cdot Adj(A)) y
}
{ =} {E_n det(A) y
}
{ =} {E_n
}
}
{}{}{.}
\inputfakt{Kommutative Algebra/Modultheorie/Kriterien Automorphismus/Fakt}{Satz}{}
{
\faktsituation {Es sei $M$ ein
\definitionsverweis {freier Modul}{}{}
über dem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
$R$. Weiter sei
\maabb {f} {M} {M
} {}
ein
$R$-\definitionsverweis {Modulendomorphismus}{}{}
und $A$ die Matrix, die $f$ bezüglich einer beliebigen
\definitionsverweis {Basis}{}{}
darstellt.}
\faktfolgerung {Es ist $f$
\definitionsverweis {bijektiv}{}{,}
also ein $R$-
\definitionsverweis {Modulautomorphismus}{}{}
genau dann, wenn $\det(A)$ eine
\definitionsverweis {Einheit}{}{}
in $R$ ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}