Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}M=(M,+,0)$  eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt ${}M$ einen ${}R$-Modul, wenn eine Operation

$R\times M\longrightarrow M,\,(r,v)\longmapsto rv=r\cdot v,$

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien ${}r,s\in R$ und ${}u,v\in M$ beliebig):

1.  ${}r(su)=(rs)u$, 
2.  ${}r(u+v)=(ru)+(rv)$, 
3.  ${}(r+s)u=(ru)+(su)$, 
4.  ${}1u=u$. 

Beispiel

1. Jeder Vektorraum über einem Körper ${}K$ ist ein ${}K$-Modul.
2. Jede abelsche Gruppe ${}G$ ist ein ${}\mathbb {Z}$-Modul: Die Abbildung

   $\cdot \colon \mathbb {Z} \times G\longrightarrow G$

   ist erklärt durch  ${}n\cdot g=g+g+\cdots +g$  (${}n$ Summanden) für ${}n\in \mathbb {N}$, ${}g\in G$ und

   ${}(-n)\cdot g=-(n\cdot g)\,.$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine Teilmenge  ${}U\subseteq M$  heißt ${}R$-Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ${}(M,0,+)$ ist und wenn für jedes  ${}u\in U$  und  ${}r\in R$  auch  ${}ru\in U$  ist.

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Die Untermoduln von ${}R$ sind die Ideale von ${}R$. Dies liegt gerade daran, dass ein Ideal eine nichtleere Teilmenge von ${}R$ ist, die unter Addition und Multiplikation mit Elementen von ${}R$ abgeschlossen ist.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt Erzeugendensystem für ${}M$, wenn es für jedes Element  ${}v\in M$  eine Darstellung

${}v=\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}\,$

gibt, wobei  ${}J\subseteq I$  endlich ist und  ${}r_{i}\in R$. 

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Der Modul ${}M$ heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem ${}v_{i}$, ${}i\in I$, für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine Familie ${}v_{i}\in M$, ${}i\in I$, heißt linear unabhängig, wenn für jede endliche Summe

${}\sum _{i\in J}r_{i}v_{i}=0\,$

mit  ${}r_{i}\in R$  und  ${}J\subseteq I$  endlich gilt, dass alle  ${}r_{i}=0$. 

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem heißt eine Basis (oder genauer: eine ${}R$-Basis) von ${}M$.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. ${}M$ heißt frei (über ${}R$), wenn er eine ${}R$-Basis besitzt.

Beispiel

Es sei  ${}R=\mathbb {Z}$  und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Dann ist  ${}M=\mathbb {Z} /(n)$  ein ${}\mathbb {Z}$-Modul und wird von der  ${}1\in M$ 

erzeugt. Allerdings gilt  ${}n\cdot 1=0$,  die Familie ${}(1)$ ist also bei  ${}n\neq 0,1$  nicht linear unabhängig und keine Basis. Da auch für jeden anderen Erzeuger  ${}\xi \in M$  gilt, dass  ${}n\cdot \xi =0$  ist, ist ${}M$ als ${}\mathbb {Z}$-Modul nicht frei. Wenn man ${}M$ als kommutativen Ring auffasst, so ist ${}M$ als Modul über sich selbst frei. Bei  ${}n=p$  mit einer Primzahl ${}p$ liegt ein ${}\mathbb {Z} /(p)$- Vektorraum vor.

Definition

Es sei ${}R$ ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring und ${}M$ ein freier ${}R$-Modul. Man nennt dann die Kardinalität einer Basis von M den Rang von ${}M$.

Definition

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  ${}0\in {\mathfrak {a}}$. 
2. Für alle  ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$  ist auch  ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$. 
3. Für alle  ${}a\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}r\in R$  ist auch  ${}ra\in {\mathfrak {a}}$. 

Definition

Ein Ideal ${}{\mathfrak {m}}$ in einem kommutativen Ring ${}R$ heißt maximales Ideal, wenn  ${}{\mathfrak {m}}\neq R$  ist und wenn es zwischen ${}{\mathfrak {m}}$ und ${}R$ kein weiteres Ideal gibt.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}{\mathfrak {m}}$ ein Ideal in ${}R$.

Dann ist ${}{\mathfrak {m}}$ genau dann ein maximales Ideal, wenn der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {m}}$ ein Körper ist.

Beweis

Es sei ${}{\mathfrak {a}}$ ein maximales Ideal in ${}R$. Um zu zeigen, dass der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ ein Körper ist, muss zu jedem Element ${}x\in R/{\mathfrak {a}},x\neq 0$ ein inverses Element ${}x^{-1}$ gefunden werden. Die Menge

${}K:=\{f+r\cdot x{|}f\in {\mathfrak {a}},r\in R\}\,$

ist ein Ideal in ${}R$.

Weiterhin ist ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K$ und aufgrund der Maximalität von ${}{\mathfrak {a}}$ ist also  ${}K=R$. 

Da ${}1\in K$ ist, gibt es ${}f\in {\mathfrak {a}}$ und ${}s\in R$ derart, dass  ${}1=f+s\cdot x$  ist. Dies bedeutet, dass ${}s+{\mathfrak {a}}$ das multiplikative Inverse zu ${}x$ ist. ${}R/{\mathfrak {a}}$ ist also ein Körper.

$\Box$

Die nächste Aussage ist wichtig, um die Wohldefiniertheit des Ranges eines Modul zu beweisen. Es wird sich hier allerdings damit begnügt, nur die Implikation zu zeigen, die wir später nutzen werden.

Lemma

In einem kommutativen Ring  ${}R\neq 0$ 

gibt es maximale Ideale.

Beweis

Wir betrachten die Menge

${}M:={\left\{I\subseteq R\mid 1\not \in I,\,{\text{Ideal in }}R\right\}}\,.$

Diese Menge enthält das Nullideal ${}0$ und ist somit nicht leer. Wir wollen das Lemma von Zorn auf ${}M$ (mit der Inklusion als Ordnungsrelation) anwenden. Dazu sei  ${}N\subseteq M$  eine total geordnete Teilmenge. Wir setzen

${}I:=\bigcup _{J\in N}J\,.$

Man zeigt nun, dass ${}I$ ein Ideal ist, das nicht die ${}1$ enthält. Also gehört es zu ${}M$ und es bildet eine obere Schranke für ${}N$. Das Lemma von Zorn liefert dann maximale Elemente in ${}M$, und dies sind maximale Ideale.

$\Box$

Definition

Es sei ${}M$ ein ${}R$-Modul und  ${}U\subseteq M$  ein ${}R$-Untermodul von ${}M$. Dann wird auf der Restklassengruppe ${}M/U$ eine skalare Multiplikation

$\cdot \colon R\times {\left(M/U\right)}\longrightarrow M/U,\,x+U\longmapsto \alpha {\left(x+U\right)}$

durch  ${}\alpha (x+U):=(\alpha \cdot x)+U$  definiert. Da  ${}\alpha \,U\subseteq U$  ist, ist diese Definition wohldefiniert.

Dieser Modul wird der Restklassenmodul von ${}M$ nach ${}U$ genannt.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M_{i},i\in I$, eine Familie von ${}R$-Moduln. Das Produkt

${}M=\prod _{i\in I}M_{i}={\left\{(x_{i})_{i\in I}\mid x_{i}\in M_{i}{\text{ für alle }}i\in I\right\}}\,$

der Moduln wird mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation zum ${}R$-Modul. Das bedeutet für ${}(x_{i})_{i\in I},(y_{i})_{i\in I}\in M$ und ${}r\in R$

${}(x_{i})_{i\in I}+(y_{i})_{i\in I}=(x_{i}+y_{i})_{i\in I}\,$

und

${}s(x_{i})_{i\in I}=(sx_{i})_{i\in I}\,.$

${}M$ heißt dann das direkte Produkt der ${}M_{i},i\in I$. Das ${}I$-fache direkte Produkt eines Moduls ${}M$ mit sich selbst wird als ${}M^{I}$ geschrieben.

Der Untermodul

$\bigoplus _{i\in I}M_{i}\subseteq \prod _{i\in I}M_{i},$

der aus allen ${}(x_{i})_{i\in I}$ besteht, für die ${}x_{i}=0$ für fast alle ${}i\in I$ ist, heißt direkte Summe der ${}M_{i}$.

Die ${}I$-fache direkte Summe eines Moduls ${}M$ mit sich selbst wird als ${}M^{(I)}$ geschrieben.

Den folgenden Satz nennt man die Wohldefiniertheit des Ranges eines freien Moduls.

Satz

Es sei  ${}R\neq 0$  ein kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter freier ${}R$-Modul.

Dann gilt für zwei ${}R$-Basen ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{m}$ von ${}M$, dass  ${}n=m$  ist.

Beweis

Da ${}R$ ein kommutativer Ring ${}\neq 0$ ist, gibt es nach Fakt ein maximales Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ in ${}R$. Dementsprechend ist der Restklassenring ${}R/{\mathfrak {a}}$ nach Fakt ein Körper. Der Untermodul ${}M/{\mathfrak {a}}M$ wird dann zu einem ${}R/{\mathfrak {a}}$-Vektorraum.

${}M$ hat als ${}R$-Modul die Basis ${}{\mathfrak {v}}$, also  ${}M=\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}Rv$.  Dementsprechend ist  ${}{\mathfrak {a}}M=\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}{\mathfrak {a}}v$. 

Hieraus folgt die Isomorphie

${}{\begin{aligned}M/{\mathfrak {a}}M&={\left(\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}Rv\right)/\left(\bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}{\mathfrak {a}}v\right)}\\&\cong \bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}{\left(Rv\right)}/{\left({\mathfrak {a}}v\right)}\\&\cong \bigoplus _{v\in {\mathfrak {v}}}R/{\mathfrak {a}}\end{aligned}}$

Somit hat ${}M/{\mathfrak {a}}M$ als ${}R/{\mathfrak {a}}$-Vektorraum eine Basis der Mächtigkeit von ${}{\mathfrak {v}}$.

Da wir für Vektorräume nach Fakt wissen, dass je zwei Basen die gleiche Kardinalität haben, folgt die Aussage.

$\Box$

Beispiel

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring. Das Produkt ${}R^{n}$ ist ein endlicher, freier Modul mit Rang ${}n$. Er besteht aus den ${}n$-Tupeln von Elementen aus ${}R$:

$(r_{1},\ldots ,r_{n}).$

Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also

${}(a_{1},\ldots ,a_{n})+(b_{1},\ldots ,b_{n})=(a_{1}+b_{1},\ldots ,a_{n}+b_{n})\,$

und

${}s(a_{1},\ldots ,a_{n})=(sa_{1},\ldots ,sa_{n})\,.$

Eine Basis

von ${}R^{n}$ bilden die Elemente

$e_{1},\ldots ,e_{n},$

wobei ${}e_{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0$ ) so definiert ist, dass an der ${}i$-ten Stelle des Tupels eine ${}1$ steht und alle anderen Koordinaten ${}0$ sind.

Modulhomomorphismen

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$, ${}N$ zwei ${}R$-Moduln. Eine Abbildung ${}\varphi \colon M\rightarrow N$ heißt ${}R$-(Modul-)homomorphismus, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in M$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in R$ und ${}v\in M$.

Ein Modulhomomorphismus wird manchmal auch lineare Abbildung genannt.

Ein bijektiver Modulhomomorphismus heißt (Modul-)isomorphismus.

Wenn ${}M=N$ ist, dann heißt ${}\varphi$ ein (Modul-)endomorphismus, oder linearer Operator, im bijektiven Fall auch (Modul-)automorphismus.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$, ${}N$ zwei ${}R$-Moduln. Es sei ${}x_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}M$ und seien ${}y_{i}$, ${}i\in I$, Elemente aus ${}N$.

Dann gibt es höchstens einen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon M\rightarrow N$, für den

${}\varphi (x_{i})=y_{i}\,$

für alle  ${}i\in I$  gilt.

Beweis

Es sei ${}u\in M$ mit der Darstellung

$u=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}.$

Für einen Homomorphismus ${}\varphi$ mit ${}\varphi (x_{i})=y_{i}$ für alle ${}i\in I$ gilt

$\varphi (u)=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}\right)}=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}\varphi (x_{i})=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}y_{i}.$

Dies legt ${}\varphi$ auf ganz ${}M$ fest.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$, ${}N$ zwei ${}R$-Moduln, wobei ${}M$ frei sei. Es seien ${}x_{i},i\in I$, eine Basis von ${}M$ und ${}y_{i},i\in I$, Elemente aus ${}N$.

Dann gibt es genau einen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi :M\rightarrow N$, für den

$\varphi (x_{i})=y_{i}$

für alle ${}i\in I$ gilt.

Beweis

Wir definieren ${}\varphi$ für ein ${}u\in M$ mit ${}u=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}x_{i}$ als

$\varphi (u)=\sum _{i\in J\subseteq I}a_{i}y_{i}.$

Weil die ${}x_{i},i\in I$, linear unabhängig sind, gibt es nur eine einzige Darstellung für jedes ${}u\in U$, deshalb ist ${}\varphi$ wohldefiniert.

Die Linearität überprüfen wir wie folgt.

Es seien zwei Modulelemente ${}u=\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}$ und ${}v=\sum _{i\in K\subseteq I}t_{i}x_{i}$ gegeben.

In dem wir weitere Summanden mit ${}s_{i}=0$ bzw. ${}t_{i}=0$ hinzufügen können wir ${}J=K$ erreichen. Deshalb nehmen wir das gleich an.

Wir zeigen die Additivität von ${}\varphi$.

${}{\begin{aligned}\varphi (u+v)&=\varphi {\left({\left(\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}+{\left(\sum _{i\in J\subseteq I}t_{i}x_{i}\right)}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(s_{i}+t_{i}\right)}\varphi (x_{i})\\&=\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}\varphi (x_{i})+\sum _{i\in J\subseteq I}t_{i}\varphi (x_{i})\\&=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}+\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}t_{i}x_{i}\right)}\\&=\varphi (u)+\varphi (v).\end{aligned}}$

Wir zeigen die Verträglichkeit von ${}\varphi$ mit der skalaren Multiplikation.

${}{\begin{aligned}\varphi (au)&=\varphi {\left(a\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}\\&=\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(as_{i}\right)}x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in J\subseteq I}{\left(as_{i}\right)}\varphi (x_{i})\\&=a\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}\varphi (x_{i})\\&=a\varphi {\left(\sum _{i\in J\subseteq I}s_{i}x_{i}\right)}\\&=a\varphi (u).\end{aligned}}$

Dass dieses ${}\varphi$ der einzige Modulhomomorphismus ist, der die Voraussetzungen erfüllt, folgt aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ ${}R$-Moduln und ${}\varphi :M\rightarrow N$ ein Modulhomomorphismus. Dann sind ${}\operatorname {kern} \varphi$ und ${}\operatorname {bild} \varphi$ Untermoduln von ${}M$ bzw. ${}N$.

Denn seien ${}u,v\in \operatorname {kern} \varphi$ und ${}r\in R$, dann gilt

$\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)=0+0=0$

und

$\varphi (ru)=r\varphi (u)=r\cdot 0=0.$

Es seien nun ${}x,y\in \operatorname {bild} \varphi$ und ${}r\in R$. Dann gibt es ${}u$, ${}v$ mit ${}u\in \varphi ^{-1}(x)$ und ${}v\in \varphi ^{-1}(y)$. Es gilt

$\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)=x+y$

und

$\varphi (ru)=r\varphi (u)=rx.$

Zu einer Matrix ${}A$ kann man über den durch die Matrix bezüglich einer Basis in ${}M$ und einem Erzeugendensystem in ${}N$ beschriebenen Modulhomomorphismus genauso auch ${}\operatorname {kern} A$ und ${}\operatorname {bild} A$ als Untermoduln beschreiben.

Für ${}\operatorname {bild} A$ schreibt man auch oft ${}AM$, sinnbildlich als den Untermodul, der aus allen Elementen besteht, die entstehen, wenn man an ${}A$ alle Elemente aus ${}M$ von rechts multipliziert.

Definition

Es sei ${}R$ ein Ring und ${}I$ und ${}J$ zwei Indexmengen. Eine ${}I\times J$-Matrix ist eine Abbildung

$I\times J\longrightarrow R,\,(i,j)\longmapsto a_{ij}.$

Bei  ${}I=\{1,\ldots ,m\}$  und  ${}J=\{1,\ldots ,n\}$  spricht man von einer ${}m\times n$-Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}.$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}I$ eine Indexmenge. Dann ist der Matrizenring

${}\operatorname {Mat} _{I}(R):=R^{I\times I}\,$

die Menge der ${}I\times I$- Matrizen ausgestattet mit folgender komponentenweiser Addition und Matrizenmultiplikation:

$+\colon \operatorname {Mat} _{I\times I}\times \operatorname {Mat} _{I\times I}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{I\times I},\,((a_{ij})_{ij}),(b_{ij})_{ij})\longmapsto (a_{ij}+b_{ij})_{ij}$

$\cdot \colon \operatorname {Mat} _{I\times I}\times \operatorname {Mat} _{I\times I}\longrightarrow \operatorname {Mat} _{I\times I},\,((a_{ij})_{ij}),(b_{ij})_{ij})\longmapsto {\left(\sum _{k\in I}a_{ik}\cdot b_{kj}\right)}_{ij}.$

Im Fall  ${}I=\{1,\ldots ,n\}$  wird auch ${}\operatorname {Mat} _{n}(R)$ geschrieben.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}\operatorname {Mat} _{I}(R)$ der Matrizenring. Eine Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{I}(R)$ heißt invertierbar, falls es eine weitere Matrix ${}B\in \operatorname {Mat} _{I}(R)$ gibt, mit

${}A\cdot B=B\cdot A=E_{n}\,.$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$, ${}N$ zwei endliche ${}R$-Moduln mit den Erzeugendensystemen ${}x_{1},\ldots ,x_{m}$ und ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$.

Zu einem Modulhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt eine

${}n\times m$-Matrix

${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Komponente von ${}\varphi (x_{j})$ bezüglich einer Darstellung ${}\varphi (x_{j})=a_{1j}y_{1}+\cdots +a_{nj}y_{n}$ im Erzeugendensystem ${}y_{1},\ldots ,y_{n}$ ist, eine beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Erzeugendensysteme.

Wenn zudem ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ linear unabhängig ist, also eine Basis ist, dann heißt zu einer Matrix ${}M={\left(a_{ij}\right)}_{ij}\in \operatorname {Mat} _{n\times m}(R)$ der durch

$x_{j}\mapsto \sum _{i=1}^{n}a_{ij}y_{i}$

gemäß Fakt definierte Modulhomomorphismus ${}\varphi (M)$ der durch ${}M$ festgelegte Modulhomomorphismus.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-freier Modul. Zu einer ${}R$-Basis ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ von ${}M$ und ${}m\in M$ ist der Koordinatenvektor  ${}x=(x_{1},\ldots ,x_{n})\in R^{n}$  der eindeutige Vektor mit der Eigenschaft

${}\sum _{i=1}^{n}x_{i}v_{i}=m\,.$

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein freier ${}R$-Modul mit Rang ${}n$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}M$. Es sei

${}v_{j}=\sum _{i=1}^{n}c_{ij}w_{i}\,$

mit den Koeffizienten ${}c_{ij}\in K$. Dann nennt man die ${}n\times n$-Matrix  ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}=(c_{ij})_{ij}$  die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von ${}{\mathfrak {v}}$ nach ${}{\mathfrak {w}}$. Die ${}j$-te Spalte von ${}M_{\mathfrak {w}}^{\mathfrak {v}}$ ist der Koordinatenvektor von ${}v_{j}$ bezüglich ${}{\mathfrak {w}}$.

Lemma

Es seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über einem kommutativen Ring ${}R$ und ${}f\colon M\rightarrow N$ ein ${}R$-Modulhomomorphismus.

Dann sind äquivalent:

1. ${}f$ ist surjektiv.
2. f bildet jedes Erzeugendensystem von ${}M$ auf eines von ${}N$ ab.

Beweis

${}(1)\Rightarrow (2)$ Sei ${}f\colon M\rightarrow N$ surjektiv und ${}(x_{i})_{i\in I}$ ein Erzeugendensystem von ${}M$.

Dann gibt es zu jedem ${}n\in N$ ein ${}m\in M$ derart, dass  ${}f(m)=n$  ist.

Es sei nun  ${}m=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot x_{i}$  daraus ergibt sich:

${}{\begin{aligned}f(m)&=f{\left(\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}f{\left(\lambda _{i}\cdot x_{i}\right)}\\&=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot f(x_{i})\\&=n.\end{aligned}}$

${}f(x_{i})_{i\in I}$ ist also wie behauptet ein Erzeugendensystem von ${}N$.

${}(2)\Rightarrow (1)$ Es sei ${}(x_{i})_{i\in I}$ ein Erzeugendensystem von ${}M$, ${}(f(x_{i}))_{i\in I}$ eines von ${}N$ und ${}n\in N$.

Dann gilt  ${}n=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot (f(x_{i}))$. 

Für  ${}m=\sum _{i\in I}\lambda _{i}\cdot x_{i}\in M$  ist  ${}f(m)=n$,  ${}f$ ist also surjektiv.

$\Box$

Die Determinante eines Endomorphismus

Von nun wird untersucht, wann ein Modulendomorphismus injektiv bzw. surjektiv ist. Hierzu wird wie bei dem bekannten Fall über Körpern eine Funktion, die Determinante definiert, die für eine Matrix und ihrem zugehörigen Endomorphismus eine solche Interpretation einfach zulässt. Die Indexmenge ${}I$ wird von nun an aus Gründen der Einfachheit halber zumeist die ersten n natürlichen Zahlen sein. Es ist Wissen über die Permutationsgruppe nötig, das sich hier : Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Vorlesung 18 angeeignet werden kann.

Definition

Es seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über dem kommutativen Ring ${}R$,  ${}n\in \mathbb {N}$  und

$\triangle \colon M^{n}=\underbrace {M\times \cdots \times M} _{n{\text{-mal}}}\longrightarrow N$

eine Abbildung.

Man nennt ${}\triangle$ multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$-Tupel

$(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$

die induzierte Abbildung

$M\longrightarrow N,\,u\longmapsto \triangle (v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}),$

ein ${}R$-Modulhomomorphismus ist.

Der Modul der multilinearen Abbildungen wird mit ${}\operatorname {Mult} _{R}(M^{n};N)$ bezeichnet.

Eine multilineare Abbildung ${}\triangle$ heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in ${}v=(v_{1},\ldots ,v_{n})$ zwei Einträge übereinstimmen, also ${}v_{i}=v_{j}$ für ein Paar ${}i\neq j$, so ist ${}\triangle (v)=0$.

Der Untermodul der alternierenden Abbildungen wird mit ${}\operatorname {Alt} _{R}(M^{n};N)$ bezeichnet.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ seien ${}R$-Moduln, ${}I$ eine endliche Indexmenge, ${}\Phi \colon M^{I}\rightarrow N$ sei multilinear. Weiter sei ${}(x_{j})_{j\in J}\in M$.

Dann gilt für jede Linearkombination ${}\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j},i\in I$ mit ${}a_{j,i}\in A$:

${}\Phi \left(\left(\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j}\right)_{i\in I}\right)=\sum _{j_{i}\in J^{I}}\left(\left(\prod _{i\in I}a_{j,i}\right)\Phi ((x_{j_{i}})_{i\in I})\right)\,.$

Beweis

Für ${}i_{0}\in I$ ist ${}\Phi$ linear in der ${}i_{0}$-ten Komponente von ${}\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j},i\in I$. Daraus folgt

${}\Phi \left(\left(\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j}\right)_{i\in I}\right)=\sum _{k\in J}\Phi (f(i)_{i\in I})\,,$

mit

$(f(i))_{i\in I}={\begin{cases}\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j},{\text{ falls }}i\neq i_{0},\\a_{k,i_{0}}\cdot x_{k},\,{\text{ falls }}i=i_{0}\,.\end{cases}}$

Wiederholtes Anwenden dieses Schrittes auf die endlich vielen Komponenten ergibt:

${}\Phi \left(\left(\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j}\right)_{i\in I}\right)=\sum ...\sum \Phi (a_{j',i'}\cdot x_{j'})\,,$

wobei es für jedes  ${}i\in I$  einmal summiert wird, was wiederum bedeutet:

${}\Phi {\left({\left(\sum _{j\in J}a_{j,i}\cdot x_{j}\right)}_{i\in I}\right)}=\sum _{j_{i}\in J^{I}}{\left({\left(\prod _{i\in I}a_{j,i}\right)}\Phi ((x_{j_{i}})_{i\in I})\right)}\,,$

denn die ${}a_{j,i}$ können aufgrund der Multilinearität jeweils aus den Komponenten herausgezogen werden.

$\Box$

Lemma

Es seien ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ und ${}N$ ${}R$-Moduln, ${}\Phi \colon M^{n}\rightarrow N$ eine multilineare, alternierende Abbildung, ${}\alpha \in R$ und ${}r,s\in \{1,...,n\}$.

Dann hat ${}\Phi$ folgende Eigenschaften:

${}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})=-\Phi (v_{1},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{n})\,.$

${}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r}+\alpha v_{s},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})\,,$

Falls ${}v_{r}$ sich als Linearkombination von ${}(v_{i})_{i\in \{1,...,n\}\setminus \{r\}}$ schreiben lässt, so ist

${}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{n})=0\,$

Beweis

Zu Teil 1: Aufgrund der Definition von alternierend gilt:

${}{\begin{aligned}0&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r}+v_{s},\ldots ,v_{r}+v_{s},\ldots ,v_{n})\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}$

Zu Teil 2: Da ${}\triangle$ multilinear ist, ist es linear in der r-ten Komponente:

${}{\begin{aligned}\Phi (v_{r}\mapsto v_{r}+(\alpha \cdot v_{s}))&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\Phi (v_{1},\ldots ,\alpha \cdot v_{s},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})+\alpha \cdot \underbrace {\Phi (v_{1},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n})} _{=0}\\&=\Phi (v_{1},\ldots ,v_{r},\ldots ,v_{s},\ldots ,v_{n}).\end{aligned}}$

Zu Teil 3: Sei  ${}v_{j}=\sum _{i=1,i\neq j}^{n}\lambda _{i}\cdot v_{i}$  dann ist

${}\Phi (v_{1},\ldots ,v_{j-1},v_{j},v_{j+1},\ldots ,,v_{n})=\sum _{i=1 \atop i\neq j}^{n}\lambda _{i}\cdot \Phi (v_{1},\ldots ,v_{j-1},v_{i},v_{j+1},\ldots ,,v_{n})=0\,.$

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, es seien ${}M$ und ${}N$ Moduln über ${}R$ und sei  ${}n\in \mathbb {N}$.  Es seien ${}\psi \colon M^{n}\rightarrow N$ eine alternierende Abbildung,  ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in M$  und  ${}\pi \in S_{n}$,  der Permutationsgruppe der Menge ${}\{1,\ldots ,n\}$.

Dann ist

${}\psi (v_{\pi (1)},\ldots ,v_{\pi (n)})=\operatorname {sgn} (\pi )\cdot \psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,.$

Beweis

Nach Fakt lässt sich ${}\sigma$ als Produkt von Transpositionen ${}\tau _{1},\ldots ,\tau _{k}$ schreiben, sagen wir  ${}\sigma =\prod _{i=1}^{k}\tau _{i}$.  In Fakt wurde bereits gezeigt, dass für Transpositionen  ${}\tau \in S_{n}$ 

${}\psi (x_{\tau (1)},\ldots ,x_{\tau (n)})=-\psi (x_{1},\ldots ,x_{n})=\operatorname {sgn} (\tau )\cdot \psi (x_{1},\ldots ,x_{n})\,$

gilt.

Das führt für ${}\sigma$ durch induktives Anwenden zu folgendem Ergebnis:

${}{\begin{aligned}\psi (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})&=\psi (x_{\tau _{1}\circ ...\circ \tau _{k}(1)},\ldots ,x_{\tau _{1}\circ ...\circ \tau _{k}(n)})\\&=\operatorname {sgn} (\tau _{1})\cdot \psi (x_{\tau _{2}\circ ...\circ \tau _{k}(1)},\ldots ,x_{\tau _{2}\circ ...\circ \tau _{k}(n)})\\&=\prod _{i=1}^{k}\operatorname {sgn} (\tau _{i})\cdot \psi (x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}$

Mit Fakt ergibt sich  ${}\prod _{i=1}^{k}\operatorname {sgn} (\tau _{i})=(-1)^{k}=\operatorname {sgn} (\sigma )$  und damit die Aussage.

$\Box$

Satz

Es sei ${}\Psi \colon M^{n}\rightarrow N$ eine multilineare Abbildung.

Dann ist

$\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\cdot \Psi \circ \sigma$

alternierend.

Mit folgender Interpretation von ${}\Psi \circ \sigma$:

${}(\Psi \circ \sigma )(x_{1},\ldots ,x_{n})=\Psi (x_{\sigma (1)},\ldots ,x_{\sigma (n)})\,.$

Beweis

Es sei ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in M^{n}$ mit  ${}x_{r}=x_{s}$  für  ${}r\neq s$. 

Es ist zu zeigen, dass  ${}\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\cdot \Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})=0$  ist. Es sei hierzu ${}\tau$ die Transposition, die ${}r$ und ${}s$ tauscht.

Durch ${}\pi \mapsto \pi \circ \tau$ wird eine bijektive Abblidung von der alternierenden Gruppe ${}A_{n}$ nach ${}S_{n}\setminus A_{n}$ definiert.

${}{\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}\Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})&=\sum _{\sigma \in A_{n}}\Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})-\sum _{\sigma \in S_{n}\setminus A_{n}}\Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})\\&=\sum _{\sigma \in A_{n}}\Psi (x_{\sigma (1)},...,x_{\sigma (n)})-\sum _{\sigma \in A_{n}}\Psi (x_{\sigma (\tau (1)},...,x_{\sigma (\tau (n))})\\&=0,\end{aligned}}$

da  ${}x_{\sigma (\tau (r))}=x_{\sigma (s)}$  und  ${}x_{r}=x_{s}$  ist, sind die beiden Summen identisch.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}M$ sei ein freier Modul über ${}R$ mit Basis ${}(x_{i})_{i\in \{1,...,n\}}$.

Dann ist  ${}\operatorname {Alt} _{R}(M^{n},N)\cong R$. 

Das heißt, dass der ${}R$-Modulhomomorphismus, der durch

$\phi \colon \operatorname {Alt} _{R}(M^{n},R)\longrightarrow R,\,\Psi \longmapsto \Psi ((x_{i})_{i\in \{1,...,n\}})$

gegeben ist, bijektiv ist.

Beweis

${}\phi$ ist klarerweise ein ${}R$-Modulhomomorphismus.

Aus Fakt ergibt sich, dass ${}\Psi$ bereits durch die die Werte auf den Basiselementen ${}(x_{i})_{i\in \{1,...,n\}}$ festgelegt, also injektiv ist.

Um die Surjektivität zu zeigen muss eine Abbildung ${}\triangle \in Alt_{R}(M^{n},R)$ gefunden werden, mit der Eigenschaft, dass  ${}\triangle ((x_{i})_{i\in \{1,...,n\}})=1$  ist.

Es bietet sich die multilineare Abbildung ${}\pi \colon ((x_{i})_{i\in I})\mapsto \prod _{i}f(i)\cdot x_{i}$, mit ${}f(i):=x_{i}^{*}$, an.

Diese ist allerdings im Gegensatz zu folgender Abbildung ${}\triangle$ nicht alternierend:

$\triangle ((x_{i})_{i\in \{1,...,n\}})=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\pi \circ \sigma ,$

die Alterniertheit ergibt sich aus Fakt.

Für ${}\triangle$ gilt weiterhin ${}\triangle ((x_{i})_{i\in I})=1$.

Zu ${}r\in R$ ist ${}r\cdot \triangle \in Alt_{R}(I,M,R)$ ein Urbild, ${}\phi$ ist surjektiv und letztendlich ein Isomorphismus.

$\Box$

Definition

Es seien ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Dann ist die Determinante ${}(det)$ einer Matrix ${}A=(a_{ij})_{ij}\in Mat_{n\times n}(R)$ definiert durch:

${}{\begin{aligned}det(A)&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}.\end{aligned}}$

Bemerkung  

Es ist

${}\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}\,.$

Dies ergibt sich aus

${}{\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma ^{-1})\prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma ^{-1}(i),i}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}sgn(\sigma )\cdot \prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{\sigma (i),i}.\end{aligned}}$

Satz

Es sei ${}\operatorname {det}$ die soeben definierte Determinante.

Dann ist ${}\operatorname {det}$ die einzige Abbildung aus ${}\operatorname {Alt} _{R}(M^{n},R)$ mit ${}\operatorname {det} (E_{n})=1$.

Beweis

Es sei zunächst ${}f\colon R^{n}\times \ ...\ \times R^{n}\to R$ eine andere Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften:

Die Zeilen der Einheitsmatrix ${}E_{n}$ sind die im Beispiel definierten Basislemente des ${}R^{n}$.

Zu ${}a\in R^{n}$ ist ${}a=\sum _{j=1}^{n}(a)_{j}\cdot e_{j}$, dementsprechend ist zu ${}(a_{i})_{i\in \{1,...,n\}}\ a_{i}=\sum _{j=1}^{n}(a_{i})_{j}e_{j}$

Dann gilt nach Fakt

${}f(a_{1},\ldots ,a_{n})=\sum _{(j_{1},\ldots ,j_{n})\in \{1,...,n\}^{n}}(a_{1})_{j_{1}}\cdot ...\cdot (a_{n})_{j_{n}}\cdot f(e_{j_{1}},...,e_{j_{n}})\,$

${}{\begin{aligned}f(a_{1},\ldots ,a_{n})&=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}}^{n}(a_{1})_{j_{1}}\cdot ...\cdot (a_{n})_{j_{n}}\cdot f(e_{j_{1}},...,e_{j_{n}})\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(a_{1})_{\sigma (1)}\cdot ...\cdot (a_{n})_{\sigma (n)}\cdot f(e_{j_{1}},...,e_{j_{n}})\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}(a_{1})_{\sigma (1)}\cdot ...\cdot (a_{n})_{\sigma (n)}\cdot sgn(\sigma )f(e_{1},...,e_{n})\\&=det(A).\end{aligned}}$

Nun wird gezeigt, dass ${}det$ multilinear und alternierend ist:

Um die Multilinearität von ${}det=\sum _{\sigma \in S_{n}}\prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}$ zu zeigen, genügt es für ${}\sigma \in S_{n}$ die Multilinearität von ${}\prod _{i\in \{1,...,n\}}a_{i,\sigma (i)}$ zu zeigen (Die Menge der multilinearen Abbildungen bilden einen Modul).

Die Multilinearität folgt daraus, dass die Multiplikation multilinear und das Auswählen einer Komponente R-linear sind.

Die Alterniertheit von ${}det$ ergibt sich aus direkt aus Fakt.

$\Box$

Lemma

Es sei ${}det$ die Determinantenfunktion.

Dann gelten folgende Aussagen:

Für ${}\lambda \in R$ ist ${}\operatorname {det} (\lambda A)=\lambda ^{n}\operatorname {det} (A)$.

Ist eine Zeile oder Spalte von A gleich 0, so ist  ${}\operatorname {det} (A)=0$. 

Tauscht man eine Zeile oder Spalte von A so ist die Determinante der neuen Matrix ${}-\operatorname {det} (A)$.

Das Addieren des ${}\lambda$-fachen einer Zeile/Spalte auf eine andere Zeile/Spalte ändert die Determinante nicht.

Beweis

Die Aussage ergibt sich direkt daraus, dass die Determinante multilinear und alternierend in Zeilen und Spalten ist.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A,B\in R^{n\times n}$.

Dann ist

${}\det A\cdot B=\det A\cdot \det B\,.$

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}\det A\det B&={\left(\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}\right)}\cdot {\left(\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{j=1}^{n}b_{j,\tau (j)}\right)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{i,\tau (i)},\end{aligned}}$

da für ${}\tau ,\sigma \in S_{n}\colon \tau \mapsto \tau \circ \sigma :=\lambda$ bijektiv ist ergibt sich:

${}{\begin{aligned}\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{i,\tau (i)}&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\tau \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )\operatorname {sgn} (\tau )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\tau \circ \sigma (i)}\\&=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\lambda \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\lambda )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\lambda (i)}.\end{aligned}}$

Andererseits ist

${}{\begin{aligned}\det \left(A\cdot B\right)&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}{\left(\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{j\pi (i)}\right)}\\&=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}}\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\pi (i)}\\&=\sum _{j_{1},\ldots ,j_{n}}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\pi (i)},\end{aligned}}$

wobei  ${}j,i\in {\{1,\ldots ,n\}}$  und  ${}{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}\in {\{1,\ldots ,n\}}^{n}$  alle möglichen Kombinationen durchläuft. Sind im Tupel ${}{\left(j_{1},\ldots ,j_{n}\right)}$ zwei Komponenten gleich, so ist:

${}{\begin{aligned}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\pi (i)}&=\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}b_{j_{i},\pi (i)}\\&=\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}\det {\left(b_{j_{i},s}\right)}_{s\in \{1,...,n\}}\\&=0,\end{aligned}}$

denn in ${}b_{j_{i},s}$ sind zwei Zeilen gleich.

Und somit letztendlich:

${}\det \left(A\circ B\right)=\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}a_{i,j_{i}}b_{j_{i},\pi (i)}=\sum _{\sigma \in S_{n}}\sum _{\pi \in S_{n}}\operatorname {sgn} (\pi )\prod _{i=1}^{n}a_{i,\sigma (i)}b_{\sigma (i),\pi (i)}=\det A\cdot \det B\,.$

$\Box$

Das Ziel ist es zu zeigen, dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante eine Einheit in R ist. Durch die Multiplikativität der Determinante kann die erste Implikation gezeigt werden. Später wird dann auch die andere Implikation gezeigt.

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$  eine invertierbare Matrix.

Dann ist ${}\det A$ eine Einheit in ${}R$, und es gilt  ${}{\left(\det A\right)}^{-1}=\det \left(A^{-1}\right)$. 

Beweis

Es sei ${}A^{-1}\in R^{n\times n}$ die Matrix mit der Eigenschaft, dass

${}A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=E_{n}\,$

ist. Es gilt:

${}1=\operatorname {det} (E_{n})=\operatorname {det} (A\cdot A^{-1})=\operatorname {det} (A)\cdot \operatorname {det} (A^{-1})\,.$

Somit ist ${}\operatorname {det} (A^{-1})\in R$ das Inversezu ${}\operatorname {det} (A)$.

${}\operatorname {det(A)}$ ist also eine Einheit.

$\Box$

Definition

Zu ${}A\in R^{n\times n}$ heißt die Matrix ${}A_{ij}\in R^{n-1\times n-1}$, die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix ${}A$ entsteht, die Streichungsmatrix zum Index i, j.

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A\in R^{n\times n}$.

Dann lässt sich ${}det(A)$ für ${}1\leq j\leq n$ wie folgt rekursiv berechnen:

$det(A)=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}det(A_{ij})=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ji}det(A_{ji}).$

Dieses Verfahren zur Berechnung der Determinante nennt man Entwickeln nach der ${}j$-ten Spalte bzw. Zeile.

Beweis

Der Beweis des Entwicklungssatzes erfolgt ähnlich wie über Körpern. Ein möglicher Beweis ist hier: Fakt.

$\Box$

Definition

Zu ${}A\in R^{n\times n}$ heißt

${}a_{ij}'=(-1)^{i+j}det(A_{ij})\,$

der Kofaktor von ${}A$ an der Stelle ${}(i,j)$.

Definition

Zu  ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$  heißt die Matrix

${}A^{\operatorname {adj} }={\left((a_{i,j}')_{1\leq ,i,j\leq n}\right)}^{tr}\,$

die zu ${}A$ adjungierte Matrix .

Satz

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und  ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$.  Weiter sei ${}A^{\operatorname {adj} }$ die zu ${}A$ adjungierte Matrix.

Dann ist

${}A^{\operatorname {adj} }\cdot A=A\cdot A^{\operatorname {adj} }=E_{n}\cdot \det A\,.$

Beweis

Um die Gleichheit zu zeigen werden die Einträge von ${}Adj(A)\cdot A$ berechnet:

${}{\begin{aligned}(Adj(A)\cdot A)_{ik}&=\sum _{j=1}^{n}Adj(A)_{ij}\cdot a_{jk}\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}\cdot \operatorname {det} (A_{ji})\\&=\sum _{j=1}^{n}a_{jk}\cdot \operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},e_{j},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},\sum _{j=1}^{n}a_{jk}e_{j},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\operatorname {det} (a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{k},a_{i+1},\ldots ,a_{n})\\&=\delta _{ik}det(A).\end{aligned}}$

Es ist also

${}Adj(A)\cdot A=\operatorname {det} (A)\cdot E_{n}\,.$

Die umgekehrte Richtung ergibt sich aus einer ähnlichen Rechnung.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(R)$.

Dann sind äquivalent.

1. ${}A$ ist eine invertierbare Matrix.
2. ${}\operatorname {det} (A)$ ist eine Einheit in ${}R$.

Beweis

(1) ${}\Rightarrow$ (2) wurde bereits in Fakt bewiesen.

(2) ${}\Rightarrow$ (1) Da ${}\operatorname {det} (A)$ eine Einheit in ${}R$ ist, gibt es ein ${}y\in R$ mit der Eigenschaft ${}\operatorname {det} (A)y=1$.

Die Matrix  ${}A^{-1}:=\operatorname {Adj} (A)y$  erfüllt nach Fakt die Eigenschaft, dass  ${}A\cdot A=E_{n}$  sei. Dies ergibt sich aus:

${}A\cdot A^{-1}=A\cdot (Adj(A)y)=(A\cdot Adj(A))y=E_{n}det(A)y=E_{n}\,.$

$\Box$

Satz

Es sei ${}M$ ein freier Modul über dem kommutativen Ring ${}R$. Weiter sei ${}f\colon M\rightarrow M$ ein ${}R$-Modulendomorphismus und ${}A$ die Matrix, die ${}f$ bezüglich einer beliebigen Basis darstellt.

Es ist ${}f$ bijektiv, also ein ${}R$- Modulautomorphismus genau dann, wenn ${}\det(A)$ eine Einheit in ${}R$ ist.