Benutzer:Pizarro4/Projekt/Freie Moduln

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Definition  

Sei ein kommutativer Ring und eine additiv geschriebene kommutative Gruppe. Man nennt einen -Modul, wenn eine Operation

(Skalarmultiplikation genannt) festgelegt ist, die folgende Axiome erfüllt (dabei seien und beliebig):

  1. ,
  2. ,
  3. ,
  4. .


Beispiel  

  1. Jeder Vektorraum über einem Körper ist ein -Modul.
  2. Jede abelsche Gruppe ist ein -Modul: Die Abbildung

    ist erklärt durch ( Summanden) für , und



Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine Teilmenge heißt -Untermodul, wenn sie eine Untergruppe von ist und wenn für jedes und auch ist.



Beispiel  

Es sei ein kommutativer Ring. Die Untermoduln von sind die Ideale von . Dies liegt gerade daran, dass ein Ideal eine nichtleere Teilmenge von ist, die unter Addition und Multiplikation mit Elementen von abgeschlossen ist.



Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine Familie , , heißt Erzeugendensystem für , wenn es für jedes Element eine Darstellung

gibt, wobei endlich ist und .



Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Der Modul heißt endlich erzeugt oder endlich, wenn es ein endliches Erzeugendensystem , , für ihn gibt (also mit einer endlichen Indexmenge).



Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine Familie , heißt linear unabhängig, wenn für jede endliche Summe

mit und endlich gilt, dass alle .


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem heißt eine Basis (oder genauer: eine -Basis) von .


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. heißt frei (über ), wenn er eine -Basis besitzt.


Beispiel  

Sei und . Dann ist ein -Modul und wird von der erzeugt. Allerdings gilt , die Familie ist also bei nicht linear unabhängig und keine Basis. Da auch für jeden anderen Erzeuger gilt, dass ist, ist als -Modul nicht frei. Wenn man als kommutativen Ring auffasst, so ist als Modul über sich selbst frei. Bei mit einer Primzahl liegt ein - Vektorraum vor.




Definition  

Sei ein vom Nullring verschiedener kommutativer Ring und ein freier -Modul. Man nennt dann die Kardinalität einer Basis von M den Rang von .


Definition  

Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .


Definition  

Ein Ideal in einem kommutativen Ring heißt maximales Ideal, wenn ist und wenn es zwischen und keine weiteren Ideale gibt.

Die nächste Aussage ist wichtig, um die Wohldefiniertheit des Ranges eines Modul zu beweisen. Es wird sich hier allerdings damit begnügt, nur die Implikation zu zeigen, die wir später nutzen werden.



Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und ein Ideal in .

Dann ist der Restklassenring genau dann ein Körper, wenn maximal in ist.

Beweis  

Sei ein maximales Ideal in . Um zu zeigen, dass der Restklassenring ein Körper ist, muss zu jedem Element ein inverses Element gefunden werden. Die Menge

ist ein Ideal in .

Weiterhin ist und aufgrund der Maximalität von ist also .

Da ist, gibt es und derart, dass ist. Dies bedeutet, dass das multiplikative Inverse zu x ist. ist also ein Körper.



Definition  

Es sei ein -Modul und ein -Untermodul von . Dann wird auf der Restklassengruppe eine skalare Multiplikation

durch definiert. Da ist, ist diese Definition wohldefiniert.

Dieser Modul wird der Restklassenmodul von nach genannt.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und , eine Familie von -Moduln. Das Produkt

der Moduln wird mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation zum -Modul. Das bedeutet für und

und

heißt dann das direkte Produkt der . Das -fache direkte Produkt eines Moduls mit sich selbst wird als geschrieben.


Der Untermodul

der aus allen besteht, für die für fast alle ist, heißt direkte Summe der .

Die -fache direkte Summe eines Moduls mit sich selbst wird als geschrieben.



Satz  

Sei ein kommutativer Ring und ein freier -Modul.

Dann gilt für zwei -Basen und von , dass ist.

Diesen Satz nennt man die Wohldefiniertheit des Ranges eines freien Moduls.

Beweis  

Da ein kommutativer Ring ist, gibt es nach Fakt ein maximales Ideal in . Dementsprechend ist der Restklassenring nach Fakt ein Körper. Der Untermodul wird dann zu einem -Vektorraum.

hat als -Modul die Basis , also . Dementsprechend ist .

Hieraus folgt die Isomorphie

Somit hat als -Vektorraum eine Basis der Mächtigkeit von .

Da wir für Vektorräume wissen, dass je zwei Basen gleiche Kardinalität haben, folgt die Aussage.



Beispiel  

Sei ein kommutativer Ring. Das Produkt ist ein endlicher, freier Modul mit Rang . Er besteht aus den -Tupeln von Elementen aus :

Addition und Skalarmultiplikation werden komponentenweise definiert, es ist also

und

Eine Basis

von bilden die Elemente
wobei ) so definiert ist, dass an der -ten Stelle des Tupels eine steht und alle anderen Koordinaten sind.



Modulhomomorphismen


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und , zwei -Moduln. Eine Abbildung heißt -(Modul-)homomorphismus, wenn folgende beiden Eigenschaften erfüllt sind.

  1. für alle .
  2. für alle und .

Ein Modulhomomorphismus wird manchmal auch lineare Abbildung genannt.

Ein bijektiver Modulhomomorphismus heißt (Modul-)isomorphismus.

Wenn ist, dann heißt ein (Modul-)endomorphismus, oder linearer Operator, im bijektiven Fall auch (Modul-)automorphismus.



Satz  

Sei ein kommutativer Ring und , zwei -Moduln. Seien ein Erzeugendensystem von und Elemente aus .

Dann gibt es höchstens einen -Modulhomomorphismus , für den

für alle gilt.

Beweis  

Sei mit der Darstellung

Für einen Homomorphismus mit für alle gilt

Dies legt auf ganz fest.




Lemma  

Sei ein kommutativer Ring und , zwei -Moduln, wobei frei sei. Seien , eine Basis von und , Elemente aus .

Dann gibt es genau einen -Modulhomomorphismus , für den

für alle gilt.

Beweis  

Wir definieren für ein mit als

Weil die , linear unabhängig sind, gibt es nur eine einzige Darstellung für jedes , deshalb ist wohldefiniert.

Die Linearität überprüfen wir wie folgt.

Seien zwei Modulelemente und gegeben.

In dem wir weitere Summanden mit bzw. hinzufügen können wir erreichen. Deshalb nehmen wir das gleich an.

Wir zeigen die Additivität von .

Wir zeigen die Verträglichkeit von mit der skalaren Multiplikation.

Dass dieses der einzige Modulhomomorphismus ist, der die Voraussetzungen erfüllt, folgt aus Fakt.



Lemma

Sei ein kommutativer Ring, und -Moduln und ein Modulhomomorphismus. Dann sind und Untermoduln von bzw. .

Denn seien und , dann gilt

und

Seien nun und . Dann gibt es , mit und . Es gilt

und

Zu einer Matrix kann man über den durch die Matrix bezüglich einer Basis in und einem Erzeugendensystem in beschriebenen Modulhomomorphismus genauso auch und als Untermoduln beschreiben.

Für schreibt man auch oft , sinnbildlich als den Untermodul, der aus allen Elementen besteht, die entstehen, wenn man an alle Elemente aus von rechts multipliziert.


Definition  

Sei ein Ring und und zwei Indexmengen. Eine -Matrix ist eine Abbildung

Bei und spricht man von einer -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und eine Indexmenge. Dann ist der Matrizenring

die Menge der - Matrizen ausgestattet mit folgender komponentenweiser Addition und Matrizenmultiplikation:

Im Fall wird auch geschrieben.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und der Matrizenring. Eine Matrix heißt invertierbar, falls es eine weitere Matrix gibt, mit


Lemma

Sei ein kommutativer Ring und , zwei endliche -Moduln mit den Erzeugendensystemen und .

Zu einem Modulhomomorphismus

heißt eine -Matrix

wobei die -te Komponente von bezüglich einer Darstellung im Erzeugendensystem ist, eine beschreibende Matrix zu bezüglich der Erzeugendensysteme.

Wenn zudem linear unabhängig ist, also eine Basis ist, dann heißt zu einer Matrix der durch

gemäß

Fakt definierte Modulhomomorphismus der durch festgelegte Modulhomomorphismus.


Definition  

Sei ein kommutativer Ring und ein -freier Modul. Zu einer -Basis von und ist der Koordinatenvektor der eindeutige Vektor mit der Eigenschaft


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein freier -Modul mit Rang . Es seien und zwei Basen von . Es sei

mit den Koeffizienten . Dann nennt man die -Matrix die Übergangsmatrix zum Basiswechsel von nach . Die -te Spalte von ist der Koordinatenvektor von bezüglich .



Lemma  

Seien und Moduln über einem kommutativen Ring und ein -Modulhomomorphismus.

Dann sind äquivalent:

  1. ist surjektiv.
  2. f bildet jedes Erzeugendensystem von auf eines von ab.

Beweis  

Sei surjektiv und ein Erzeugendensystem von .

Dann gibt es zu jedem ein derart, dass ist.

Sei nun daraus ergibt sich:

ist also wie behauptet ein Erzeugendensystem von .

Sei ein Erzeugendensystem von , eines von und .

Dann gilt .

Für ist , ist also surjektiv.




Die Determinante eines Endomorphismus

Von nun wird untersucht, wann ein Modulendomorphismus injektiv bzw. surjektiv ist. Hierzu wird wie bei dem bekannten Fall über Körpern eine Funktion, die Determinante definiert, die für eine Matrix und ihrem zugehörigen Endomorphismus eine solche Interpretation einfach zulässt. Die Indexmenge wird von nun an aus Gründen der Einfachheit halber zumeist die ersten n natürlichen Zahlen sein. Es ist Wissen über die Permutationsgruppe nötig, das sich hier : Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2017-2018)/Teil I/Vorlesung 18 angeeignet werden kann.



Definition  

Es seien und Moduln über dem kommutativen Ring, und

eine Abbildung.

Man nennt multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel
die induzierte Abbildung

ein -Modulhomomorphismus ist.

Der Modul der multilinearen Abbildungen wird mit bezeichnet.

Eine multilineare Abbildung heißt alternierend, wenn folgendes gilt: Falls in zwei Einträge übereinstimmen, also für ein Paar , so ist .

Der Untermodul der alternierenden Abbildungen wird mit bezeichnet.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, und seien -Moduln, eine endliche Indexmenge, sei multilinear. Weiter sei .

Dann gilt für jede Linearkombination mit :

Beweis  

Für ist linear in der -ten Komponente von . Daraus folgt

mit

Wiederholtes Anwenden dieses Schrittes auf die endlich vielen Komponenten ergibt:

wobei es für jedes einmal summmiert wird, was wiederum bedeutet:

denn die können aufgrund der Multilinearität jeweils aus den Komponenten herausgezogen werden.




Lemma  

Es seien ein kommutativer Ring, und -Moduln, eine multilineare, alternierende Abbildung, und .

Dann hat folgende Eigenschaften:

Falls sich als Linearkombination von schreiben lässt, so ist

Beweis  

Zu Teil 1: Aufgrund der Definition von alternierend gilt:

Zu Teil 2: Da multilinear ist, ist es linear in der r-ten Komponente:

Zu Teil 3: Sei dann ist




Satz  

Es seien eine alternierende Abbildung, und , der Permutationsgruppe der Menge .

Dann ist

Beweis  

Nach Fakt lässt sich als Produkt von Transpositionen schreiben: . In Fakt wurde bereits gezeigt, dass für Transpositionen

gilt.

Das führt für durch induktives Anwenden zu folgendem Ergebnis:

Mit Fakt ergibt sich und damit die Aussage.




Satz  

Es sei eine multilineare Abbildung.

Dann ist

alternierend.

Mit folgender Interpretation von :

Beweis  

Es sei mit für .

Es ist zu zeigen, dass ist. Es sei hierzu die Transposition, die und tauscht.

Durch wird eine bijektive Abblidung von der alternierenden Gruppe nach definiert.


da und ist, sind die beiden Summen identisch.




Satz  

Es sei ein kommutativer Ring, sei ein freier Modul über mit Basis .

Dann ist .

Das heißt, dass der -Modulhomomorphismus, der durch

gegeben ist, bijektiv ist.

Beweis  

ist klarerweise ein -Modulhomomorphismus.

Aus Fakt ergibt sich, dass bereits durch die die Werte auf den Basiselementen festgelegt, also injektiv ist.

Um die Surjektivität zu zeigen muss eine Abbildung gefunden werden, mit der Eigenschaft, dass ist.

Es bietet sich die multilineare Abbildung , mit , an.

Diese ist allerdings im Gegensatz zu folgender Abbildung nicht alternierend:

die Alterniertheit ergibt sich aus Fakt.

Für gilt weiterhin .

Zu ist ein Urbild, ist surjektiv und letztendlich ein Isomorphismus.



Definition  

Es seien ein kommutativer Ring und . Dann ist die Determinante einer Matrix definiert durch:

Bemerkung  

Es ist

Dies ergibt sich aus




Satz  

Es sei die soeben definierte Determinante.

Dann ist die einzige Abbildung aus mit .

Beweis  

Es sei zunächst eine andere Abbildung mit den gewünschten Eigenschaften:

Die Zeilen der Einheitsmatrix sind die im Beispiel definierten Basislemente des .

Zu ist , dementsprechend ist zu

Dann gilt nach Fakt


Nun wird gezeigt, dass multilinear und alternierend ist:

Um die Multilinearität von zu zeigen, genügt es für die Multilinearität von zu zeigen (Die Menge der multilinearen Abbildungen bilden einen Modul).

Die Multilinearität folgt daraus, dass die Multiplikation multilinear und das Auswählen einer Komponente R-linear sind.

Die Alterniertheit von ergibt sich aus direkt aus Fakt.




Lemma  

Es sei die Determinantenfunktion.

Dann gelten folgende Aussagen:

Für ist .

Ist eine Zeile oder Spalte von A gleich 0, so ist .

Tauscht man eine Zeile oder Spalte von A so ist die Determinante der neuen Matrix .

Das Addieren des -fachen einer Zeile/Spalte auf eine andere Zeile/Spalte ändert die Determinante nicht.

Beweis  

Die Aussage ergibt sich direkt daraus, dass die Determinante multilinear und alternierend in Zeilen und Spalten ist.




Satz  

Es sei ein kommutativer Ring und .

Dann ist

Beweis  

da für bijektiv ist ergibt sich:

Andererseits ist

wobei und alle möglichen Kombinationen durchgeht. Sind in zwei Komponenten gleich, so ist:

denn in sind zwei Zeilen gleich.

Und somit letztendlich:


Das Ziel ist es zu zeigen, dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante eine Einheit in R ist. Durch die Multiplikativität der Determinante kann die erste Implikation gezeigt werden. Später wird dann auch die andere Implikation gezeigt.



Korollar  

Es sei ein kommutativer Ring und eine invertierbare Matrix.

Dann ist eine Einheit in , weiterhin ist .

Beweis  

Es sei die Matrix mit der Eigenschaft, dass

ist. Es gilt:

Somit ist das Inversezu .

ist also eine Einheit.



Definition  

Zu heißt die Matrix , die durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte der Matrix entsteht, die Streichungsmatrix zum Index i, j.



Satz  

Es sei ein kommutativer Ring und .

Dann lässt sich für wie folgt rekursiv berechnen:

Dieses Verfahren zur Berechnung der Determinante nennt man Entwickeln nach der -ten Spalte bzw. Zeile.

Beweis  

Der Beweis des Entwicklungssatzes erfolgt ähnlich wie über Körpern. Ein möglicher Beweis ist hier: Fakt.



Definition  

Zu heißt

der Kofaktor von an der Stelle .


Definition  

Zu heißt die Matrix

die zu adjungierte Matrix .



Satz  

Es sei ein kommutativer Ring und . Weiter sei die zu adjungierte Matrix.

Dann ist

Beweis  

Um die Gleichheit zu zeigen werden die Einträge von berechnet:

Es ist also

Die umgekehrte Richtung ergibt sich aus einer ähnlichen Rechnung.




Korollar  

Es sei ein kommutativer Ring und .

Dann sind äquivalent

  1. ist eine invertierbare Matrix.
  2. ist eine Einheit in .

Beweis  

(1) (2) wurde bereits in Fakt bewiesen.

(2) (1) Da eine Einheit in ist, gibt es ein mit der Eigenschaft .

Die Matrix erfüllt nach Fakt die Eigenschaft, dass sei. Dies ergibt sich aus:



Satz

Es sei ein freier Modul über dem kommutativen Ring . Weiter sei ein -Modulendomorphismus und die Matrix, die bezüglich einer beliebigen Basis darstellt.

Es ist bijektiv, also ein - Modulautomorphismus genau dann, wenn eine Einheit in ist.