Beringter Raum/Modulgarben/Riemannsche Flächen/Textabschnitt

Die folgenden Objekte formulieren wir allgemein für einen beringten Raum, man kann sich aber stets darunter eine riemannsche Fläche mit der Garbe der holomorphen Funktionen vorstellen.

Definition

Eine Garbe ${}{\mathcal {M}}$ auf einem beringten Raum ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modul, wenn es für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ auf ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ eine ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ -Modulstruktur gegeben ist, die mit den Restriktionsabbildungen zu ${}U\subseteq V$ verträglich ist.

Die Verträglichkeitsbedingung bedeutet, dass zu offenen Mengen ${}U\subseteq V$ das Diagramm

{\begin{matrix}\Gamma {\left(V,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\times \Gamma {\left(V,{\mathcal {M}}\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(V,{\mathcal {M}}\right)}&\\\downarrow &&\downarrow &\\\Gamma {\left(U,{\mathcal {O}}_{X}\right)}\times \Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

kommutiert. Die Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ ist insbesondere ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modul. Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modul ist insbesondere eine Garbe von abelschen Gruppen. Nach Fakt (3) ist die Garbe der holomorphen Differentialformen auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modul. Ebenso ist die Garbe der meromorphen Funktionen ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modul.

Im Wesentlichen kann man sämtliche Definitionen und Konstruktionen aus der Modultheorie über einem kommutativen Ring auf Modulgarben übertragen.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und ${}{\mathcal {M}}$ ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modul. Eine Untergarbe ${}{\mathcal {N}}\subseteq {\mathcal {M}}$ derart, dass ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}$ für jede offene Teilmenge ${}U\subseteq X$ ein ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ -Untermodul von ${}\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}$ ist, heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Untermodul von ${}{\mathcal {M}}$ .

Die Strukturgarbe ist ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Untermodul der Garbe der meromorphen Funktionen.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum. Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Untermodul ${}{\mathcal {I}}\subseteq {\mathcal {O}}_{X}$ heißt Idealgarbe.

Definition

Es sei ${}{\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Moduln auf ${}X$ . Ein Garbenhomomorphismus ${}\varphi \colon {\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}$ heißt ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modulhomomorphismus, wenn für jede offene Menge ${}U\subseteq X$ die Abbildung

\Gamma {\left(U,{\mathcal {M}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(U,{\mathcal {N}}\right)}

ein ${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})$ -Modulhomomorphismus ist.

Ein ${}{\mathcal {O}}_{X}$ -Modulhomomorphismus ist insbesondere ein Homomorphismus von Garben von abelschen Gruppen.

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$ . Dann nennt man

{}\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {N}}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}\,

mit der natürlichen ${}\Gamma {\left(X,{\mathcal {O}}_{X}\right)}$ -Modulstruktur den (globalen) Homomorphismenmodul zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ .

Definition

Es sei ${}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein beringter Raum und seien ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ Modulgarben auf ${}X$ . Dann nennt man die Zuordnung

U\longmapsto \operatorname {Hom} {\left({\mathcal {M}}{|}_{U},{\mathcal {N}}{|}_{U}\right)}={\left\{\varphi :{\mathcal {M}}{|}_{U}\rightarrow {\mathcal {N}}{|}_{U}\mid \varphi {\text{ Modulhomomorphismus}}\right\}}

die Homomorphismengarbe zu ${}{\mathcal {M}}$ und ${}{\mathcal {N}}$ . Sie wird mit ${}{{\mathcal {H}}om}{\left({\mathcal {M}},{\mathcal {N}}\right)}$ bezeichnet.