Chevalley-Warning/Einführung/Textabschnitt

Der folgende Satz heißt Satz von Chevalley-Warning.

Satz

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ eine Familie von Polynomen mit

${}\sum _{i=1}^{m}\operatorname {Grad} \,(f_{i})<n\,.$

Dann gilt für die Anzahl der gemeinsamen Nullstellen der ${}f_{i}$ im ${}K^{n}$ die Beziehung

${}{\#\left(V(f_{1},\ldots ,f_{m})\right)}=0\mod p\,.$

Beweis

Es sei ${}q$ die Anzahl der Elemente von ${}K$ und sei

${}V=V(f_{1},\ldots ,f_{m})\,.$

Wir betrachten das Polynom

${}\chi =\prod _{i=1}^{m}(1-f_{i}^{q-1})\,.$

Dieses Polynom hat in einem Punkt ${}P=\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in K^{n}$ den Wert ${}1$, wenn ${}P$ zur gemeinsamen Nullstellenmenge gehört, da ja dann alle Faktoren den Wert ${}1$ haben, und andernfalls den Wert ${}0$, da bei ${}f_{i}(P)\neq 0$ ja ${}f_{i}(P)^{q-1}=1$ folgt und somit der ${}i$-te Faktor von ${}\chi$ zu ${}0$ wird. Daher ist

${}{\#\left(V\right)}=\sum _{P\in K^{n}}\chi (P)\mod p\,.$

Das Polynom ${}\chi$ besitzt einen Grad, der nach Voraussetzung echt kleiner als ${}n(q-1)$ ist. Somit ist es eine Linearkombination von Monomen ${}X_{1}^{d_{1}}\cdots X_{n}^{d_{n}}$ mit

${}\sum _{i=1}^{n}d_{i}<n(q-1)\,,$

was wiederum bedeutet, dass stets mindestens ein Exponent ${}d_{i}<q$ ist. Sei ${}d_{n}<q$. Dann ist

${}{\begin{aligned}\sum _{P\in K^{n}}(X_{1}^{d_{1}}\cdots X_{n}^{d_{n}})(P)&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in K^{n}}x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in K^{n-1}}{\left(\sum _{x_{n}\in K}x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n}^{d_{n}}\right)}\\&=\sum _{(x_{1},\ldots ,x_{n-1})\in K^{n-1}}{\left(x_{1}^{d_{1}}\cdots x_{n-1}^{d_{n-1}}\sum _{x_{n}\in K}x_{n}^{d_{n}}\right)}\\&=0\end{aligned}}$

in ${}K$ nach Fakt. Da dies für jeden Summanden von ${}\chi$ gilt, ist auch

${}\sum _{P\in K^{n}}\chi (P)=0\,$

in ${}K$.

$\Box$

Wir erwähnen einige Korollare.

Korollar

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper der Charakteristik ${}p$ und sei ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Polynom mit ${}\operatorname {Grad} \,(f)<n$.

Dann gilt für die Anzahl der Nullstellen von ${}f$ im ${}K^{n}$ die Beziehung

${}{\#\left(V(f)\right)}=0\mod p\,.$

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

In vielen Fällen kann man aus dem Satz von Chevalley-Warning die Existenz von (nichttrivialen) ${}K$-rationalen Punkten erschließen.

Korollar

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ eine Familie von Polynomen mit

${}\sum _{i=1}^{m}\operatorname {Grad} \,(f_{i})<n\,,$

die jeweils keinen konstanten Term besitzen.

Dann besitzen die ${}f_{i}$ mindestens eine gemeinsame Nullstelle ${}\neq (0,\ldots ,0)$ im ${}K^{n}$.

Beweis

Nach Voraussetzung ist der Punkt ${}\left(0,\,\ldots ,\,0\right)$ eine gemeinsame Nullstelle der ${}f_{i}$. Nach Fakt besitzt die Anzahl aller gemeinsamen Nullstellen modulo ${}p$ den Rest ${}0$. Daher muss es zumindest eine (genauer ${}p-1$) weitere gemeinsame Nullstelle geben.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und sei ${}f_{1},\ldots ,f_{m}\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ eine Familie von nichtkonstanten homogenen Polynomen mit

${}\sum _{i=1}^{m}\operatorname {Grad} \,(f_{i})<n\,.$

Dann besitzen die ${}f_{i}$ mindestens eine gemeinsame Nullstelle ${}\neq (0,\ldots ,0)$ im ${}K^{n}$.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Bemerkung  

In der homogenen Situation von Fakt über ${}\mathbb {Z} /(p)$ erfüllt die Anzahl ${}N={\#\left(V\right)}$ des Nullstellengebildes nicht nur die Bedingung, dass ${}N$ ein Vielfaches von ${}p$ sein muss, sondern wegen der homogenen Struktur auch die Bedingung, dass ${}N-1$ ein Vielfaches von ${}p-1$ sein muss. Dies beruht einfach darauf, dass zu jedem ${}\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\in K^{n}\setminus \{\left(0,\,\ldots ,\,0\right)\}$ auch jedes skalare Vielfache ${}s\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ mit ${}s\neq 0$ zu ${}V$ gehört, siehe Fakt. Somit gilt die Bedingung, dass es ${}a,b\in \mathbb {N}$ mit ${}N=ap=b(p-1)+1$ gibt. Eine typische Möglichkeit ist ${}p^{2}=(p+1)(p-1)+1$, es gibt aber auch viele andere Möglichkeiten, siehe Beispiel und Beispiel.

Korollar

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und sei ${}f\in K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein nichtkonstantes homogenes Polynom mit ${}\operatorname {Grad} \,(f)<n$.

Dann besitzt ${}f$ mindestens eine Nullstelle ${}\neq (0,\ldots ,0)$ im ${}K^{n}$.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Der Fall vom Grad ${}1$ in zumindest zwei Variablen ist trivial, da sich da die Existenz von Punkten aus der linearen Algebra ergibt.

Korollar

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper und sei ${}f\in K[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}2$.

Dann besitzt ${}f$ mindestens eine Nullstelle ${}\neq (0,\ldots ,0)$ im ${}K^{3}$.

Beweis

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.

$\Box$

Beispiel

Wir betrachten die Gleichung

${}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0\,$

über den endlichen Körpern ${}\mathbb {Z} /(p)$, nach Fakt gibt es nichttriviale Lösungen.

Bei ${}p=2$ sind ${}(0,1,1),\,(1,0,1),\,(1,1,0)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${}{\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$ vier Lösungen)

Bei ${}p=3$ sind ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 1)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${}{\left(\mathbb {Z} /(3)\right)}^{3}$ neun Lösungen).

Bei ${}p=5$ sind die Permutationen von ${}(0,\pm 1,\pm 2)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${}{\left(\mathbb {Z} /(5)\right)}^{3}$ genau ${}25$ Lösungen).

Bei ${}p=7$ sind die Permutationen von ${}(\pm 1,\pm 2,\pm 3)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${}{\left(\mathbb {Z} /(7)\right)}^{3}$ genau ${}49$ Lösungen).

Bei ${}p=11$ sind ${}0,1,3,4,5,9$ die Quadrate. Die Summe von zwei Quadraten ergibt nie ${}0$. Es ist ${}1+1+9=11$ und ${}1+5+5=11$ und ${}3+3+5=11$ und ${}3+4+4=11$ und ${}4+9+9=22$ Somit sind die Permutationen von ${}(\pm 1,\pm 1,\pm 3)$, von ${}(\pm 1,\pm 4,\pm 4)$, von ${}(\pm 5,\pm 5,\pm 3)$ von ${}(\pm 5,\pm 2,\pm 2)$ und von ${}(\pm 2,\pm 3,\pm 3)$ die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in ${}{\left(\mathbb {Z} /(11)\right)}^{3}$ genau ${}5\cdot 3\cdot 8+1=121$ Lösungen).

Beispiel

Wir betrachten die Gleichung

${}X^{2}+Y^{2}=0\,$

über den endlichen Körpern ${}\mathbb {Z} /(p)$. Wenn man diese Gleichung in zwei Variablen auffasst, was naheliegend ist, so kann man Fakt nicht anwenden, beispielsweise gibt es bei ${}p=3$ nur die triviale Lösung ${}(0,0)$. Man kann die Gleichung aber auch in den drei Variablen ${}X,Y,Z$ auffassen und dann die Aussage anwenden. Es gibt dann, nach wie vor bei ${}p=3$, die drei Lösungen ${}(0,0,z)$ mit ${}z\in \mathbb {Z} /(3)$.

Bei ${}p=5$ gibt es in zwei Variablen die Lösungen ${}(0,0)$ und die Permutationen von ${}(\pm 1,\pm 2)$, was insgesamt neun Lösungen sind. In drei Variablen gibt es somit ${}45$ Lösungen.

Beispiel

Wir betrachten das homogene Polynom

$X^{3}+Y^{3}+Z^{3}+XY^{2}+YZ^{2}+ZX^{2}+XYZ$

vom Grad ${}3$ in drei Variablen über dem Körper ${}\mathbb {Z} /(2)$, hier ist also Fakt nicht anwendbar. In der Tat besitzt dieses Polynom außer in ${}(0,0,0)$ keine Nullstelle. Das Polynom ist symmetrisch in den Variablen, was die Überprüfung erleichtert. Sei ${}(x,y,z)\in {\left(\mathbb {Z} /(2)\right)}^{3}$. Bei ${}x=y=0$ ist ${}z^{3}=0$ und damit ${}z=0$, das ist der Ursprungspunkt. Bei ${}x=0$ und ${}y=z=1$ verbleiben drei Terme und der Wert des Polynoms ist ${}1$. Bei ${}x=y=z$ gibt es sieben Terme, der Wert des Polynoms ist also wieder ${}1$.

Die Aussage Fakt gilt nicht, wenn man statt endlichen Körpern zu nichtreduzierten endlichen Ringen übergeht.

Beispiel

Wir betrachten die homogene Gleichung

${}X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=0\,$

über dem endlichen Ring ${}\mathbb {Z} /(4)$. Die Quadrate in ${}\mathbb {Z} /(4)$ sind ${}0$ und ${}1$, deshalb gibt es keine nichttriviale Lösung für diese Gleichung in ${}{\left(\mathbb {Z} /(4)\right)}^{3}$.

Bei mehr als einer Gleichung ist der erste interessante Fall der von zwei homogenen Polynomen vom Grad ${}2$ in fünf Variablen (mit linearen Gleichungen kann man stets Variablen eliminieren).

Beispiel

Wir betrachten die beiden homogenen Polynome vom Grad ${}2$

$X^{2}+Y^{2}+Z^{2}+U^{2}+V^{2}$

und

$X^{2}+YZ+UV.$

Man kann hier ${}X^{2}$ eliminieren und erhält eine Gleichung vom Grad ${}2$ in vier Variablen, worauf man auch Fakt bzw. Fakt anwenden kann. Dies führt zu einer nichttrivialen Lösung ${}(y,z,u,v)$ von

${}Y^{2}+Z^{2}+U^{2}+V^{2}=YZ+UV\,,$

allerdings besagt Fakt zusätzlich, dass es auch eine nichttriviale Lösung ${}(y,z,u,v)$ gibt, bei der man aus ${}-(y^{2}+z^{2}+u^{2}+v^{2})$ die Quadtratwurzel ziehen kann.

Es sei beispielsweise ${}K=\mathbb {Z} /(3)$. Da ist ${}(1,1,-1,0,0)$ eine nichttriviale Lösung.