Chevalley-Warning/Einführung/Textabschnitt

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Der folgende Satz heißt Satz von Chevalley-Warning.



Satz  

Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik und sei eine Familie von Polynomen mit

Dann gilt für die Anzahl der gemeinsamen Nullstellen der im die Beziehung

Beweis  

Es sei die Anzahl der Elemente von und sei

Wir betrachten das Polynom

Dieses Polynom hat in einem Punkt den Wert , wenn zur gemeinsamen Nullstellenmenge gehört, da ja dann alle Faktoren den Wert haben, und andernfalls den Wert , da bei ja folgt und somit der -te Faktor von zu wird. Daher ist

Das Polynom besitzt einen Grad, der nach Voraussetzung echt kleiner als ist. Somit ist es eine Linearkombination von Monomen mit

was wiederum bedeutet, dass stets mindestens ein Exponent ist. Sei . Dann ist

in nach Fakt. Da dies für jeden Summanden von gilt, ist auch

in .


Wir erwähnen einige Korollare.


Korollar  

Es sei ein endlicher Körper der Charakteristik und sei ein Polynom mit .

Dann gilt für die Anzahl der Nullstellen von im die Beziehung

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.


In vielen Fällen kann man aus dem Satz von Chevalley-Warning die Existenz von (nichttrivialen) -rationalen Punkten erschließen.


Korollar  

Es sei ein endlicher Körper und sei eine Familie von Polynomen mit

die jeweils keinen konstanten Term besitzen.

Dann besitzen die mindestens eine gemeinsame Nullstelle im .

Beweis  

Nach Voraussetzung ist der Punkt eine gemeinsame Nullstelle der . Nach Fakt besitzt die Anzahl aller gemeinsamen Nullstellen modulo den Rest . Daher muss es zumindest eine (genauer ) weitere gemeinsame Nullstelle geben.



Korollar  

Es sei ein endlicher Körper und sei eine Familie von nichtkonstanten homogenen Polynomen mit

Dann besitzen die mindestens eine gemeinsame Nullstelle im .

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.


Bemerkung  

In der homogenen Situation von Fakt über erfüllt die Anzahl des Nullstellengebildes nicht nur die Bedingung, dass ein Vielfaches von sein muss, sondern wegen der homogenen Struktur auch die Bedingung, dass ein Vielfaches von sein muss. Dies beruht einfach darauf, dass zu jedem auch jedes skalare Vielfache mit zu gehört, siehe Fakt. Somit gilt die Bedingung, dass es mit gibt. Eine typische Möglichkeit ist , es gibt aber auch viele andere Möglichkeiten, siehe Beispiel und Beispiel.




Korollar  

Es sei ein endlicher Körper und sei ein nichtkonstantes homogenes Polynom mit .

Dann besitzt mindestens eine Nullstelle im .

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.


Der Fall vom Grad in zumindest zwei Variablen ist trivial, da sich da die Existenz von Punkten aus der linearen Algebra ergibt.


Korollar  

Es sei ein endlicher Körper und sei ein homogenes Polynom vom Grad .

Dann besitzt mindestens eine Nullstelle im .

Beweis  

Dies ist ein Spezialfall von Fakt.



Beispiel  

Wir betrachten die Gleichung

über den endlichen Körpern , nach Fakt gibt es nichttriviale Lösungen.

Bei sind die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in vier Lösungen)

Bei sind die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in neun Lösungen).

Bei sind die Permutationen von die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in genau Lösungen).

Bei sind die Permutationen von die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in genau Lösungen).

Bei sind die Quadrate. Die Summe von zwei Quadraten ergibt nie . Es ist und und und und Somit sind die Permutationen von , von , von von und von die nichttrivialen Lösungen (insgesamt gibt es also in genau Lösungen).



Beispiel  

Wir betrachten die Gleichung

über den endlichen Körpern . Wenn man diese Gleichung in zwei Variablen auffasst, was naheliegend ist, so kann man Fakt nicht anwenden, beispielsweise gibt es bei nur die triviale Lösung . Man kann die Gleichung aber auch in den drei Variablen auffassen und dann die Aussage anwenden. Es gibt dann, nach wie vor bei , die drei Lösungen mit .

Bei gibt es in zwei Variablen die Lösungen und die Permutationen von , was insgesamt neun Lösungen sind. In drei Variablen gibt es somit Lösungen.



Beispiel  

Wir betrachten das homogene Polynom

vom Grad in drei Variablen über dem Körper , hier ist also Fakt nicht anwendbar. In der Tat besitzt dieses Polynom außer in keine Nullstelle. Das Polynom ist symmetrisch in den Variablen, was die Überprüfung erleichtert. Sei . Bei ist und damit , das ist der Ursprungspunkt. Bei und verbleiben drei Terme und der Wert des Polynoms ist . Bei gibt es sieben Terme, der Wert des Polynoms ist also wieder .


Die Aussage Fakt gilt nicht, wenn man statt endlichen Körpern zu nichtreduzierten endlichen Ringen übergeht.


Beispiel  

Wir betrachten die homogene Gleichung

über dem endlichen Ring . Die Quadrate in sind und , deshalb gibt es keine nichttriviale Lösung für diese Gleichung in .


Bei mehr als einer Gleichung ist der erste interessante Fall der von zwei homogenen Polynomen vom Grad in fünf Variablen (mit linearen Gleichungen kann man stets Variablen eliminieren).


Beispiel  

Wir betrachten die beiden homogenen Polynome vom Grad

und

Man kann hier eliminieren und erhält eine Gleichung vom Grad in vier Variablen, worauf man auch Fakt bzw. Fakt anwenden kann. Dies führt zu einer nichttrivialen Lösung von

allerdings besagt Fakt zusätzlich, dass es auch eine nichttriviale Lösung gibt, bei der man aus die Quadtratwurzel ziehen kann.

Es sei beispielsweise . Da ist eine nichttriviale Lösung.