Determinante/Körper/Universelle Eigenschaft/Textabschnitt

Die für die Determinante charakteristischen Eigenschaften, multilinear und alternierend zu sein und die Bedingung, dass die Determinante der Einheitsmatrix gleich ${}1$ ist, legt die Determinante eindeutig fest.

Definition

Es sei ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler Vektorraum über einem Körper ${}K$. Eine Abbildung

$\triangle \colon V^{n}\longrightarrow K$

heißt Determinantenfunktion, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. ${}\triangle$ ist multilinear.
2. ${}\triangle$ ist alternierend.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Es sei

$\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)\cong {\left(K^{n}\right)}^{n}\longrightarrow K$

eine Determinantenfunktion.

Dann besitzt ${}\triangle$ folgende Eigenschaften.

1. Wenn man eine Zeile von ${}M$ mit ${}s\in K$ multipliziert, so ändert sich ${}\triangle$ um den Faktor ${}s$.
2. Wenn in ${}M$ eine Nullzeile vorkommt, so ist ${}\triangle (M)=0$.
3. Wenn man in ${}M$ zwei Zeilen vertauscht, so ändert sich ${}\triangle$ mit dem Faktor ${}-1$.
4. Wenn man zu einer Zeile ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile dazuaddiert, so ändert sich ${}\triangle$ nicht.
5. Wenn ${}\triangle (E_{n})=1$ ist, so ist für eine obere Dreiecksmatrix ${}\triangle (M)=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}$.

Beweis

(1) und (2) folgen direkt aus der Multilinearität.
(3) folgt aus Fakt.
Zu (4) betrachten wir die Situation, wo zur ${}s$-ten Zeile das ${}a$-fache der ${}r$-ten Zeile addiert wird, ${}r<s$. Aufgrund der schon bewiesenen Teile ist dann

${}\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}+av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\av_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}+a\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{r}\\\vdots \end{pmatrix}}=\triangle {\begin{pmatrix}\vdots \\v_{r}\\\vdots \\v_{s}\\\vdots \end{pmatrix}}\,.$

(5). Wenn ein Diagonalelement ${}0$ ist, so sei ${}r=\max {\left\{i\mid a_{ii}=0\right\}}$. Zur ${}r$-ten Zeile kann man durch Hinzuaddieren von geeigneten Vielfachen der ${}i$-ten Zeilen, ${}i>r$, erreichen, dass aus der ${}r$-ten Zeile eine Nullzeile wird, ohne dass sich der Wert der Determinantenfunktion ändert. Nach (2) muss dieser Wert dann ${}0$ sein. Wenn kein Diagonalelement ${}0$ ist, so kann man durch wiederholte Skalierung erreichen, dass alle Diagonalelemente zu ${}1$ werden, und durch Zeilenadditionen kann man erreichen, dass die Einheitsmatrix entsteht. Daher ist

${}\triangle (M)=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\triangle (E_{n})=a_{11}a_{22}{\cdots }a_{nn}\,.$

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Satz

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gibt es genau eine Determinantenfunktion

$\triangle \colon \operatorname {Mat} _{n}(K)=(K^{n})^{n}\longrightarrow K$

mit

${}\triangle (e_{1},\,e_{2},\ldots ,e_{n})=1\,,$

wobei ${}e_{i}$ die Standardvektoren sind, nämlich die Determinante.

Beweis

Die Determinante besitzt aufgrund von Fakt, Fakt und Fakt die angegebenen Eigenschaften.
Zur Eindeutigkeit. Zu jeder Matrix ${}M$ gibt es eine Folge von elementaren Zeilenumformungen derart, dass das Ergebnis eine obere Dreiecksmatrix ist. Dabei ändert sich nach Fakt bei einer Vertauschung von Zeilen der Wert der Determinantenfunktion mit dem Faktor ${}-1$, bei der Umskalierung einer Zeile um den Skalierungsfaktor und bei der Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile gar nicht. Daher ist eine Determinantenfunktion durch die Werte auf einer oberen Dreiecksmatrix bzw. nach Skalierung und Zeilenaddition sogar durch den Wert an der Einheitsmatrix festgelegt.

$\Box$