Wir wollen ausgehend von der Menge der ganzen Zahlen , die einen
kommutativen Ring
bildet, die Menge der rationalen Zahlen konstruieren. Wir gehen dabei ähnlich wie bei der Konstruktion der ganzen Zahlen aus den natürlichen Zahlen vor, indem wir auf einer „zu großen“ Menge eine
Äquivalenzrelation
einführen, sodass die
Quotientenmenge
ein Modell für die rationalen Zahlen ist.
Wir starten mit der Produktmenge
-
Zur Orientierung sei schon jetzt gesagt, dass das Paar später den Bruch repräsentieren soll.
Man kann sich vorstellen, dass in die erste Zahl eine Anzahl an Kuchen und die zweite Zahl eine Anzahl an Personen bedeutet, oder die Anzahl der Frauen und die Anzahl der Männer auf einer Party, oder irgendein Paar, das einen proportionalen Zusammenhang repräsentiert.
Auf wollen wir eine Äquivalenzrelation definieren, wobei zwei Paare als äquivalent gelten sollen, wenn sie „den gleichen Bruch“ repräsentieren
(den es noch nicht gibt).
Wir definieren
-
Diese Relation wird also unter Bezug auf die Gleichheit in erklärt. Es handelt sich dabei um eine Äquivalenzrelation, wie man direkt nachrechnen kann, siehe
Aufgabe.
Insbesondere sind und für
zueinander äquivalent.
Es ist hilfreich, sich diese Situation zu veranschaulichen, indem man die diskrete obere Halbebene
betrachtet. Ein Paar ist dann ein Gitterpunkt, wobei wir uns die ganzen Zahlen als die Punkte
-
vorstellen. Die zugehörige durchgezogene „Zahlengerade“
(wo also die zweite Komponente konstant ist.)
bezeichnen wir mit . Ein jeder Punkt
definiert eine eindeutige Gerade, die durch diesen Punkt und durch den Nullpunkt verläuft. In dieser geometrischen Interpretation sind zwei Punkte
und
genau dann äquivalent, wenn sie die gleiche Gerade definieren, und dies ist genau dann der Fall, wenn ihre „Steigungen“ übereinstimmen. Zwei Punkte liegen ja genau dann auf der gleichen Geraden, wenn sie, wenn man durch Streckung ihre zweite Koordinate zur Übereinstimmung bringt, dann auch die erste Koordinate übereinstimmt. Wenn man den ersten Punkt mit streckt
(multipliziert)
und den zweiten Punkt mit , so erhält man die beiden Punkte
und ,
und die Gleichheit vorne war die Definition für die Relation. Die Äquivalenzklassen sind die „diskreten Geraden“ durch den Nullpunkt und einen weiteren Gitterpunkt.
Auch die Identifizierungsabbildung zu dieser Äquivalenzrelation kann man sich gut vorstellen. Der Schnittpunkt der durch einen Punkt und dem Nullpunkt definierten Geraden mit der Zahlengeraden ist ein Punkt, der dem Bruch entspricht
(die Steigung der Geraden ist aber ).
Die Quotientenmenge unter dieser Äquivalenzrelation nennen wir und sprechen vom Äquivalenzklassenmodell für . Für die Elemente in schreiben wir vorläufig noch . Wir wollen nun auf eine Addition und eine Multiplikation definieren.
Durch die Festlegung
-
erhält man auf
(dem Äquivalenzklassenmodell von)
eine Verknüpfung, die kommutativ und assoziativ ist und die als neutrales Element besitzt. Darüber hinaus besitzt jedes Element ein inverses Element, und zwar sind
und
invers zueinander.
Zum Nachweis der Wohldefiniertheit seien
und
,
also
und
.
Dann ist
-
und somit
-
Die Kommutativität und die Eigenschaft, dass das neutrale Element der Verknüpfung ist, folgen unmittelbar aus der Definition. Zum Beweis der Assoziativität seien gegeben. Es ist dann
Ferner ist
-
Durch die Festlegung
-
erhält man auf
(dem Äquivalenzklassenmodell von)
eine Verknüpfung, die kommutativ und assoziativ ist und die als neutrales Element besitzt. Darüber hinaus besitzt jedes Element ein inverses Element, und zwar sind bei
die Klassen
und
und bei
die Klassen
und
invers zueinander.
Beweis
Siehe
Aufgabe.
Das Äquivalenzklassenmodell von ist mit der Addition
-
der Multiplikation
-
dem Nullelement und dem Einselement
ein
Körper.
Dies folgt aus
Fakt
und aus
Fakt,
es ist somit lediglich noch das Distributivgesetz zu begründen. Dies ergibt sich aus
Durch die Festlegung
,
falls
,
erhält man auf
(dem Äquivalenzklassenmodell von)
eine
totale Ordnung.
Beweis
Siehe
Aufgabe.
Das Äquivalenzklassenmodell von ist mit der Addition
-
der Multiplikation
-
dem Nullelement , dem Einselement und der durch
-
falls
-
definierten Ordnung
ein
angeordneter Körper.
Dies folgt aus
Fakt
und
Fakt,
es bleibt nur noch die Verträglichkeit der Ordnung mit den Verknüpfungen zu zeigen. Sei
-
also
,
und beliebig. Wegen
ist dann auch
und somit
Wenn
und
ist, so sind positiv und dann ist auch positiv, also
-
Die ganzen Zahlen sind über die Zuordnung
-
in den rationalen Zahlen enthalten. Diese Zuordnung ist mit der Addition, der Multiplikation und der Ordnung verträglich, siehe
Aufgabe.
Für die Äquivalenzklasse schreibt man abkürzend .