Differentialformen auf Mannigfaltigkeiten/Wegintegral/M und R^n/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und eine -Differentialform. Es sei

eine stetig differenzierbare Kurve. Dann heißt

das Wegintegral von längs .

Bemerkung  

Im physikalischen Kontext beschreibt eine reellwertige -Differentialform (bzw. ihre duale Version, ein Vektorfeld) eine Kraft; das Wegintegral ist dann der Arbeitsaufwand oder die Energie, die gebraucht oder freigesetzt wird, wenn sich ein Teilchen auf dem Weg bewegt.


Häufig werden wir Differentialformen auf einer abgeschlossenen Untermannigfaltigkeit , offen in , betrachten, die sogar auf definiert sind und daher die Gestalt besitzen, wobei die die Koordinaten des und die auf definierte Funktionen sind. Für einen Weg in ist es nach Aufgabe gleichgültig, ob man das Wegintegral mit Bezug auf und oder mit Bezug auf und die eingeschränkte Differentialform betrachtet.

Bemerkung  

Ein Wegintegral wird folgendermaßen berechnet. Es sei eine -Form auf offen, die durch

beschrieben werde, wobei die messbare Funktionen sind. Es sei eine stetig differenzierbare Kurve gegeben mit den (stetig differenzierbaren) Komponentenfunktionen . Die Ableitung in einem Punkt wird dann nach Fakt durch den Vektor beschrieben. Die zurückgezogene Differentialform hat dann im Punkt in Richtung den Wert

Im mittleren Ausdruck wird eine Linearform auf einen Vektor angewendet. In wird also durch und durch ersetzt. Das Gesamtergebnis ist eine messbare -Form auf bzw. eine messbare Funktion von nach , die man integrieren kann.



Beispiel  

Wir betrachten die Differentialform

auf dem und den affin-linearen Weg

Die unter zurückgenommene Differentialform ist

Für das Integral über dem Einheitsintervall ergibt sich