Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/3/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}Y\subseteq U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen und sei ${}F$ ein differenzierbares Vektorfeld auf ${}U$ mit der Eigenschaft, dass für jeden Punkt ${}P\in Y$ der Vektor ${}F(P)$ zum Tangentialraum an die Faser in ${}P$ an ${}Y$ gehört. Dann verläuft die Lösung ${}v(t)$ zum Anfangswertproblem zu ${}F$ mit der Anfangsbedingung ${}v(t_{0})\in Y$ ganz in ${}Y$.
2. Es sei ${}M$ eine orientierte riemannsche Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ die kanonische Volumenform. Es sei

   $\alpha \colon U\longrightarrow V$

   eine orientierte Karte mit

   ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}\,$

   offen mit Koordinaten ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ mit der metrischen Fundamentalmatrix ${}G=(g_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ und ${}g=\det G$. Dann ist

   ${}\alpha _{*}\omega ={\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}\,.$

   Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq U$ ist

   ${}\int _{T}\omega =\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}dx_{1}\wedge \ldots \wedge dx_{n}=\int _{\alpha (T)}{\sqrt {g}}\,d\lambda ^{n}\,.$

3. Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit einer abzählbaren Basis der Topologie. Dann gibt es zu jeder offenen Überdeckung eine der Überdeckung untergeordnete stetig differenzierbare Partition der Eins.

Zur gelösten Aufgabe